Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :.
Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.
- Se então existe um inteiro k tal que a = b + km.
- Sempre ;
- Se , então: ;
- Se e , então: ;
- Se e , então
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se e , então: ;
- Se e , então: ;
- Se e , então: ;
Observe que desta última propriedade acima deriva que:
- Se e é um número inteiro positivo, então: ;
- Se , então: , onde d é o máximo divisor comum de c e m.
Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: .
Propriedade da congruência linear
- Tenhamos uma congruência e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.