Equação diferencial ordinária de primeira ordem - Wikiwand
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Equação diferencial ordinária de primeira ordem

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

onde é dada e a incógnita é a função . O domínio pode ser um intervalo ou a reta real inteira.

Quando a função não depende explicitamente sobre a variável independente e o problema pode ser escrito na seguinte forma:

então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.

Exemplos

Equação Solução Domínio

Em todos os casos a constante de integração é arbitrária

O problema de valor inicial

O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:

Exemplo

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

O teorema de Picard-Lindelöf

O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial:

onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável .

O problema de valores contorno

O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo e cujos valores nos extremos e satisfazem uma condição dada:

Exemplo

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

Equação linear

O caso linear acontece quando a função é da seguinte forma:

A equação fica, então:

Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:

então, integrando, temos:

ou, equivalentemente:

Equações de variáveis separáveis

Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma: [1]

Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função pode ser calculada da seguinte forma

A equação diferencial pode ser escrita como

e a primitiva em ordem a do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a de como acabamos de ver

As equações do tipo

onde e são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição[1]

Equações exatas

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial[1]:

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função cujas derivadas parciais são iguais a e .[1] No entanto, a segunda derivada parcial de seria

Assim, para que a conjetura da existência da função seja consistente, é necessário que as funções e verifiquem a seguinte condição

nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como

sendo a sua solução geral

A função calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a e .[1]

Equações homogêneas

Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral[1]

para resolver este tipo de equação usa-se a substituição

a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de mais o expoente de ) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma mas a segunda não

Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação

onde e são constantes dadas.[1] Se as constantes e fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas para substituir , de forma a obter

ou de forma equivalente

a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer

como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que , e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea

Não-unicidade de soluções

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

aqui é uma constante positiva qualquer.

Divergência em tempo finito

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

Referências

  1. a b c d e f g [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também

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