Espaço de Banach
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Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach (1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.
Espaços métricos
Sejam um conjunto não-vazio e uma métrica em , dizemos que o par (, ) é um espaço métrico.
Espaço vetorial normado
Seja um espaço vectorial sobre um corpo e uma norma de . O par (, ) é um espaço vetorial normado.
- Um espaço normado (, ) pode ser considerado um espaço métrico (, ), basta definir a seguinte métrica
- , para todo .
De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo , resulta:
•; •Se e , então , .
Para o caso de , temos: ;
•;
•.
Assim, todo espaço normado (, ) é um espaço métrico (, ), com sendo a métrica induzida pela norma . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.
- É possível mostrar também que se é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica , essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
- ;\;\forall x,y\in E;}
-
Sequência de Cauchy
Uma sequência em um espaço métrico chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo dado, existe tal que implica .
Intuitivamente, à medida que o índice cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.
- Toda sequência convergente é de Cauchy.
- Toda sequência de Cauchy é limitada.
Espaços métricos completos
Um espaço métrico é completo quando toda sequência de Cauchy em é convergente em .
- Para mostrar que um espaço métrico não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em que não seja convergente.
- O espaço métrico não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais convergindo para um número irracional . Por exemplo, com . Assim, é uma sequência de Cauchy no espaço métrico , mas não é convergente em .
Um espaço vectorial normado é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em é convergente em .
Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:
Desigualdade de Young
Dados tais que (dizemos que são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:
Desigualdade de Hölder
Dados conjugados de Hölder, vale a desigualdade:
Se definimos um produto coordenada a coordenada em da forma , podemos reescrever a desigualdade como:
Desigualdade de Minkowski
Dados , vale a desigualdade:
- Se é espaço vetorial normado, e é subespaço vetorial, então é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço .
- Se é espaço de Banach e é subespaço vetorial, então é espaço de Banach se, e somente se, é fechado em .
- Para todo espaço vetorial normado , é possível estender a norma de forma que o completamento de , denotado , seja espaço vetorial normado completo, ou seja, é espaço de Banach.