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função complexa diferenciável em todo ponto de seu domínio Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto.[1]
Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto " significa não só diferenciável em , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em , no plano complexo.
Se é um subconjunto aberto de e é uma função[2], dizemos que é diferenciável complexa ou -diferenciável no ponto se o limite
existir.[3]
Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de , e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número . Intuitivamente, se é diferenciável complexa em e nas proximidades ao ponto da direção , então as imagens se aproximarão ao ponto a partir da direção , onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.[3]
Se é complexa diferenciável em cada ponto , dizemos que é holomorfa em .[1]
A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:
etc. [3]
Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:
Pelas propriedades acima, a função , dada por não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto[3]).
Além disso, se uma função é holomorfa no aberto e é dada por, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e para todo o . O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que e sejam funções de classe no ponto tal que .
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