Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ com valores em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ que são diferenciáveis em cada ponto.^[1]

 Nota: Se procura o holomorfo de um fungo, veja Teleomorfo.

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",^[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$" significa não só diferenciável em ${\displaystyle a}$, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ${\displaystyle a}$, no plano complexo.

Definição

Se ${\displaystyle U}$ é um subconjunto aberto de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ é uma função^[2], dizemos que ${\displaystyle f}$ é diferenciável complexa ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciável no ponto ${\displaystyle z_{0}\in U}$ se o limite

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

existir.^[3]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de ${\displaystyle z_{0}}$, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ${\displaystyle f'(z_{0})}$. Intuitivamente, se ${\displaystyle f}$ é diferenciável complexa em ${\displaystyle z_{0}}$ e nas proximidades ao ponto ${\displaystyle z_{0}}$ da direção ${\displaystyle r}$, então as imagens se aproximarão ao ponto ${\displaystyle f(z_{0})}$ a partir da direção ${\displaystyle f'(z_{0})r}$, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.^[3]

Se ${\displaystyle f}$ é complexa diferenciável em cada ponto ${\displaystyle z_{0}\in U}$, dizemos que ${\displaystyle f}$ é holomorfa em ${\displaystyle U}$.^[1]

Propriedades

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

• ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$
• ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$

etc. ^[3]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

• Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[1]
• Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[3] O argumento, aqui, é o ângulo ${\displaystyle \theta }$ obtido pela transformação ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,}$

Pelas propriedades acima, a função ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$, dada por ${\displaystyle f(z)=|z|\,}$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto^[3]).

Além disso, se uma função ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ é holomorfa no aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ e é dada por${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ${\displaystyle {\big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}{\big )}}$ para todo o ${\displaystyle z_{0}\in U}$. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sejam funções de classe ${\displaystyle C^{1}}$no ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}}$ tal que ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$.

Ver também

• Função antiholomorfa

Referências

1. Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations
2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016
3. Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]

• Portal da matemática

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