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O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos.[1]
Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula é chamada de multiplicativa se
para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).[2][Nota 1]
Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação é válida para quaisquer naturais m e n. [2] Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se 2(n) = (n2).
Se é uma função multiplicativa então também é uma função multiplicativa.
Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d1·d2, tal que d1|m e d2|n, com d1 e d2 relativamente primos, e como, por hipótese, é multiplicativa, segue que
Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função é multiplicativa (a extensão da prova para k com k qualquer não é complexa): definindo como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima) é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função
O caso 0(n) = (n) também é simples: toma-se (d) = 1 para todo divisor d de n e então
Se é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe tal que .
Como é por hipótese monótona, suponha estritamente crescente (caso contrário, considere ). Seja . Logo . Assim, para todo natural m tem-se
em que e são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como
,
segue finalmente que
.
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