A integral de Riemann aplica-se apenas a funções
que sejam limitadas. Apesar desta limitação, trata-se de uma integral bastante importante e muito sugestiva na sua formulação pela ligação ao conceito de área de regiões do plano limitadas por gráficos de funções reais de variável real. Sendo uma integral aplicável a uma classe vasta de funções, é conhecido o habitual exemplo da função de Dirichlet como caso de função não integrável à Riemann. Procuraremos aqui detalhar um pouco as qualidades que uma função limitada deve ter para ser integrável à Riemann.
É também conhecido que o integral de Riemann possui várias formulações. Iremos aqui, com brevidade, seguir a formulação de Darboux, segundo a qual a integral de Riemann é resultante das integrais inferior e superior. Estas integrais são formuladas com base nas chamadas somas de Darboux (inferior e superior) constituídas por sua vez a partir de uma dada partição
de
. Por
designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo
. O valor
é designado por diâmetro da partição.
A soma inferior é definida por
, onde ![{\displaystyle m_{i}=\inf\{f(x):x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3652068f795e925277b5e3ca6ef4d9adaf4758)
e a soma superior por
, onde
.
A integral inferior de
em
é então dada por
,
e a integral superior de
em
como
![{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x=\inf \ \{S_{f}(Q):Q\in {\mathcal {P}}([a,b])\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d85f7d0959a63efad17b6c97040e8d8defb806)
Tem-se que
![{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq {\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98339a27551061ff9f174af587047cf90c632512)
e
diz.se integrável à Riemann em
se
![{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d0dc48c2c0abd21b4be58892a8add6ed15dd07)
Em tal situação escreve-se
![{\displaystyle {\int }_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b765c82f2fac0aa4c341163f7be04296f18c50)