Integral de Lebesgue
De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
A integral de Lebesgue é, na matemática, uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções , a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.[1][2][3]
Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.
Considere, então, um espaço de medida.
Funções simples
Seja uma função simples:
Diz-se que é Lebesgue integrável em se:
- ficando bem convencionado que
neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de como:
Funções positivas
Seja uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de em como:
- , onde é uma função simples.
A função é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:
- Quando é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
- A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.
Funções reais
Seja uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:
É fácil ver que se é mensurável, então ambas e são mensuráveis não negativas e que .
A função é dita Lebesgue integrável em se ambas as integrais e forem finitas e sua integral é definida como:
- Observe que é integrável e mensuravel se e somente se é integrável.
Se e são funções integráveis em um conjunto mensurável , então:
- quase sempre, então
- mensurável, é integrável em e, ainda:
- Se são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e então:
- define uma medida aditiva nos subconjuntos mensuráveis de .
- A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.
- Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.
- O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.
Referências
- Lacruz, Miguel (7 de janeiro de 2011). «La integral de Lebesgue». Café Matemático (em espanhol). Consultado em 14 de março de 2019
- «Lebesgue integral - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 14 de março de 2019