Em matemática , uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S .[1] Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade .
imagem representando a medida
Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função
μ
:
X
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu :X\to [0,\infty )\,\!}
tal que:
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\emptyset )=0}
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}
, para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X , disjuntos dois a dois.
Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis ).
São conseqüências diretas da definição de medida postiva:
μ
(
E
)
≥
0
,
∀
E
∈
X
{\displaystyle \mu (E)\geq 0,~~\forall E\in X\,}
Prova:
A
⊆
B
⟹
μ
(
A
)
≤
μ
(
B
)
,
∀
A
,
B
∈
X
{\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \mu (A)\leq \mu (B),~~~\forall A,B\in X\,}
Prova: Como
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, vale que
B
=
A
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle B=A\cup (B\backslash A)}
, sendo esta união disjunta . Logo, da definição de medida, vale que
μ
(
B
)
=
μ
(
A
)
+
μ
(
B
∖
A
)
≥
μ
(
A
)
{\displaystyle \mu (B)=\mu (A)+\mu (B\backslash A)\geq \mu (A)}
, pela não-negatividade de
μ
{\displaystyle \mu }
.
Exemplos
μ
(
E
)
=
{
0
,
E
=
∅
1
,
E
=
S
{\displaystyle \mu (E)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset \\1,&E=S\end{array}}\right.}
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo .
δ
x
0
(
E
)
=
{
1
,
x
0
∈
E
0
,
c
.
c
.
{\displaystyle \delta _{x_{0}}(E)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&x_{0}\in E\\0,&c.c.\end{array}}\right.}
As medidas de Borel e de Lebesgue em
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
verificam a propriedade
λ
[
a
,
b
]
=
b
−
a
{\displaystyle \lambda [a,b]=b-a\,\!}
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
Se
Z
{\displaystyle Z\,}
tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
Medida invariante por translações :
μ
(
A
+
λ
)
=
μ
(
A
)
,
∀
A
∈
X
{\displaystyle \mu (A+\lambda )=\mu (A),~~\forall A\in X\,}
, onde
A
+
λ
=
{
x
+
λ
:
x
∈
A
}
{\displaystyle A+\lambda =\{x+\lambda :x\in A\}}
(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
μ
(
A
)
=
sup
K
⊆
A
μ
(
K
)
,
∀
A
∈
X
{\displaystyle \mu (A)=\sup _{K\subseteq A}\mu (K),~~\forall A\in X}
e
K
{\displaystyle K\,}
são compactos.
μ
(
A
)
=
inf
A
⊆
V
μ
(
V
)
,
∀
A
∈
X
{\displaystyle \mu (A)=\inf _{A\subseteq V}\mu (V),~~\forall A\in X}
e
V
{\displaystyle V\,}
são abertos.
Medida finita : o espaço inteiro tem medida finita.
μ
(
S
)
<
∞
{\displaystyle \mu (S)<\infty \,}
Medida
σ
−
{\displaystyle \sigma -}
finita : o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
S
=
⋃
n
=
1
∞
E
n
,
μ
(
E
n
)
<
∞
{\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n},~~\mu (E_{n})<\infty }
Medida localmente finita : todo compacto é mensurável e tem medida finita
μ
(
K
)
<
∞
{\displaystyle \mu (K)<\infty \,}
, para todo compacto
K
{\displaystyle K\,}
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