Polinômios de Legendre
De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em matemática, os polinômios de Legendre são as soluções polinomiais da equação diferencial de Legendre:
para as quais .
Eles recebem esse nome em homenagem a Adrien-Marie Legendre. Esta equação diferencial ordinária é frequentemente encontrada na física e em outros campos técnicos. Em particular, ele surge na resolução da equação de Laplace (e equações diferenciais parciais) em coordenadas esféricas.
A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em x= ± 1 então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá se |x| < 1. Quando n é um inteiro, a solução Pn(x) que é regular em x=1 é também regular em x=-1, e a série para esta solução é finita (i.e. é um polinômio).
Esta solução para n = 0, 1, 2,... (com a normalização Pn(1)=1) forma uma sequência polinomial de polinômios ortogonais chamados polinômios de Legendre. Cada polinômio de Legendre Pn(x) é um polinômio de n-ésimo grau. Isto pode ser expresso utilizando a fórmula de Rodrigues: