Proporcionalidade

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

 Nota: Se procura outras acepções - ou casos específicos como as proporções direta ou com o inverso do quadrado -, veja proporcionalidade (desambiguação).

Definição

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que iguale(m) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ e duas funções ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$, temos que: ${\displaystyle f}$ é proporcional a ${\displaystyle g}$ se e só se existe alguma constante real ${\displaystyle k}$ tal que, para todo ${\displaystyle x}$ ao longo de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=k}$ Isso é

${\displaystyle f\propto g\iff \exists k\in \mathbb {R} .\quad \forall x\in X.\quad {\frac {f(x)}{g(x)}}=k}$

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle \forall x\in X.\quad k\in \left\{{\frac {f(x)}{g(x)}},{\frac {g(x)}{f(x)}}\right\}}$

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva

Toda função é proporcional a si mesma.

${\displaystyle f\propto f}$

Provada a partir da definição:

${\displaystyle \forall x\in X.\quad {\frac {f(x)}{f(x)}}=1}$

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica")

Não existe uma ordem exata dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.

${\displaystyle f\propto g\iff g\propto f}$

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

${\displaystyle \forall x\in X.\quad k\in \left\{{\tfrac {f(x)}{g(x)}},{\tfrac {g(x)}{f(x)}}\right\}=\left\{{\tfrac {g(x)}{f(x)}},{\tfrac {f(x)}{g(x)}}\right\}}$

Transitiva

A proporcionalidade é transitiva:

${\displaystyle f\propto g\land g\propto h\iff f\propto h}$

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

${\displaystyle f\propto g\propto h}$

Prova-se a partir da definição:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in X.\quad f(x)&=\alpha \cdot g(x)\\\forall x\in X.\quad g(x)&=\beta \cdot h(x)\\\therefore \forall x\in X.\quad f(x)&=\alpha \beta \cdot h(x)\\\end{aligned}}}$

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

1. Multiplicação de ambos os termos
2. Inversão de ambos os termos
3. Eliminação de constantes

Algoritmos

1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualdades

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

${\displaystyle \forall t\in {\mathfrak {T}}.\quad P(t)\cdot V(t)=n(t)\cdot R\cdot T(t)}$

Formas de proporcionalidade

Retórica	Simbologia	Exemplo
"variação proporcional"	${\displaystyle \Delta a\propto \Delta b}$	Retas paralelas
"directamente proporcional"	${\displaystyle a\propto b}$	Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional"	${\displaystyle ab\propto 1}$	Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado"	${\displaystyle a\propto b^{2}}$	Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado"	${\displaystyle ab^{2}\propto 1}$	Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo"	${\displaystyle a\propto b^{3}}$	Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo"	${\displaystyle ab^{3}\propto 1}$	Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo"	${\displaystyle a^{2}\propto b^{3}}$	Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção"	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{a}}={\tfrac {a}{b}}}$	As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

${\displaystyle a\propto b^{-1}\iff b\propto a^{-1}}$

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

${\displaystyle ab\propto 1}$

Divina proporção

Quando o número de ouro ${\displaystyle \left(\varphi \approx 1,618\right)}$ é uma constante duma relação verdadeira de uma proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\quad \therefore \quad {\frac {a}{b}}=\varphi }$

Aplicações

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.

Ver também

O Wikilivro Matemática para concursos/Razão e proporção tem uma página intitulada Razão e proporção

• Razão
• Proporção direta
• Proporção inversa
• Variação com o inverso do quadrado
• Variação com o quadrado
• Variação com o cubo
• Linearização
• Homotetia

Bibliografia

• Lima, Elon Lages. Temas e problemas. 1.ed. SBM, 2001. 193 p. Capítulo 1. ISBN 8585818166

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