Relação de Einstein (teoria cinética) - Wikiwand
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Relação de Einstein (teoria cinética)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

(difusão de partículas carregadas)
("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

A forma mais geral da equação é:

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = vd / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μq é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μq/q. Entretanto, a forma geral da equação

é no caso de uma partícula carregada:

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade é o inverso do coeficiente de arrasto . Uma constante de amortecimento, , é frequentemente usada no contexto de , o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio , a lei de Stokes fornece

onde é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein tornasse

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é[1]

onde é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com . Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.[2])

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade . Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

Finalmente, ligando isso em:

Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

Ver também

Referências

  1. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (HOLT, RINEHART AND WINSTON, New York, 1988).
  2. The fluctuation-dissipation theorem, R Kubo, Rep. Prog. Phys. 29, 255–284 (1966).
  • "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1]


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