Sequência
lista ordenada de elementos em matemática / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em matemática, uma sequência ou sucessão é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possui, podendo existir sequências infinitas ou finitas. [1]
A sequência também é caracterizada pelo comportamento de seus termos, podendo ser crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. As sequências também podem ser recorrentes, sendo cada termo definido por uma relação que envolve um ou mais termos anteriores. Exemplos conhecidos de sequência são as progressões aritméticas, progressões geométricas e a sequência de Fibonacci, sendo esta última uma sequência recorrente. A análise real inclui o estudo dos limites de sequências de números reais.
Uma sequência é um conjunto de números que são dispostos em uma ordem, onde cada número é chamado de termo. O termo é escrito da forma , sendo a posição ou ordem do termo. Essa ordem é definida segundo a lei de formação da sequência. [2][3][4]
Em análise matemática, diz-se uma sequência como uma função , definida sobre um subconjunto dos números naturais que toma elementos no conjunto .[5]
Para sequências, denota-se usualmente o valor de em por em vez de Este termo é dito ser o -ésimo termo da sequência. A notação é usada para denotar a sequência , cujos índices são tomados no conjunto . Quando o conjunto dos índices está subentendido, normalmente escrevemos ou, simplesmente, . Por extenso, escrevemos . Observamos, ainda, que as notações e também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[6][7][8][9][10]
Uma sequência numérica infinita é uma função , cujo domínio é o conjunto dos número naturais[8][9][10]. Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:
- a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
- a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
- a sequência de aproximações por falta para (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
- a sequência constante (1, 1, 1, 1, 1,...).
No estudo de dinâmica simbólica[11], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por , mas por . Assim, usa-se a notação para se referir a sequência . Também usa-se a notação mais compacta com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.
Uma sequência é chamada limitada quando existem números reais e onde todos os termos de possuem valores entre esses dois números, ou seja, para todo . Quando os valores e são simétricos ( e ), ou seja, , o intervalo é chamado de simétrico. Uma sequência é limitada superiormente (ou limitada à direita) quando se tem um número real tal que , de modo que todos os termos pertencem ao intervalo . Da mesma forma, é limitada inferiormente (ou limitada à esquerda) quando se tem um número real tal que , de modo que todos os termos pertencem ao intervalo . Se a sequência não é limitada, diz-se que ela é ilimitada.[8]
Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais é uma função . O estudo destas sequências traz resultados importantes para o estudo de funções reais [8][9]. São exemplos de sequências reais:
- ;
- ;
- ;
Limite de uma Sequência
Uma sequência pode ser definida como convergente ou divergente. Quando se afirma que uma sequência é convergente, significa que ela possui um limite, ou seja, existe um número real que, na medida em que o índice cresce, os termos de vão se tornando mais próximos desse número real . Quando não há limite finito, diz-se que a sequência diverge.[8][9]
- Sequências monótonas
As sequências monótonas são todas as sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes [8]:
- Sequência crescente: quando , ou seja, , para todo ;
- Sequência não-decrescente: quando , ou seja, , para todo ;
- Sequência decrescente: quando , ou seja, , para todo ;
- Sequência não-crescente: quando , ou seja, , para todo .
Nota-se que uma sequência decrescente, pela definição, é uma sequência não-crescente. Da mesma forma, uma sequência crescente é uma sequência não-decrescente.
Exemplos
- é crescente pois ;
- é decrescente pois ;
- é não decrescente pois ;
- é não crescente pois .