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Em teoria analítica dos números, o teorema de Brun–Titchmarsh, devido a Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é um limite superior na distribuição dos números primos em progressão aritmética.
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Fevereiro de 2014) |
Afirma que, se conta o número de primos p congruentes a a modulo q com p ≤ x, então
para todos q < x.
O resultado foi provado por um método de crivos por Montgomery e Vaughan; anteriormente Brun e Titchmarsh provaram uma versão mais fraca desta desigualdade com um fator multiplicativo adicional de .
Se q é relativamente pequeno, por exemplo, , então existe um limite melhor:
Este resultado é devido a Y. Motohashi (1973). Ele usou uma estrutura bilinear no termo do erro no crivo de Selberg, descoberto pelo próprio. Posteriormente esta ideia de explorar estruturas nos erros de crivagem tournou-se um grande método dentro da teoria analítica dos números, devido à extensão feira por H. Iwaniec para o crivo combinatório.
Por contraste, o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas dá um resultado assintótico, que pode ser expressado por
mas só se pode provar que isso vale para o intervalo mais restrito q < (log x)c para c constante: isto é o teorema de Siegel–Walfisz.
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