Teorema de Ehrenfest

O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$

Mecânica quântica

${\displaystyle {\Delta x}\,{\Delta p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Princípio da Incerteza

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onde A é algum operador da mecânica quântica e ${\displaystyle \langle A\rangle }$ é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico ${\displaystyle \Phi }$. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3}}$

${\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3},}$

onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$

e isto:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{\dagger }={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$

Perceba que ${\displaystyle H=H^{\dagger }}$ porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$

Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$

onde ${\displaystyle x}$ é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento ${\displaystyle p}$. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle }$

já que o operador ${\displaystyle p}$ comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$, nós obteremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}.}$

Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}}$

${\displaystyle =-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}}$

${\displaystyle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,}$

mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle +0={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}]\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle }$

Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.