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análise física e matemática do som Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.
A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:
onde é a pressão acústica e é o vetor da velocidade de fluxo, é o vetor das coordenadas espaciais , é o tempo, é a densidade de massa estática do meio e é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio () como
Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional, , então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como [1]
onde nós usamos o vetor laplaciano, . A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar onde . Neste caso a equação da onda é escrita como
e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como
As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.
As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são
onde é a força do corpo por unidade de massa, é a pressão, e é a desvio de tensão. Se é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então
onde é um tensor de segunda ordem.
Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.
Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por
onde é a viscosidade de cisalhamento e é a viscosidade do módulo.
Assim sendo, a divergência de é dada por
Usando a identidade , nós temos
As equações de conservação do momento então podem ser escritas como
Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso
e a equação de momento pode ser reduzida para
Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para
Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma
Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio () que varia no espaço e um pequeno campo flutuante () que varia no espaço e tempo. Que é
e
Então a equação de momento pode ser expressa como
Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos
Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo e tem gradientes nulos, que é,
A equação momento então se torna
Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é, . Então o balanço do momento se reduz para
Deixando cair os tis e usando , nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento
A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por
onde é a densidade da massa do fluido e a velocidade de fluxo.
A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.
Da suposição de pequenas perturbações nós temos
e
Então a equação da massa pode ser escrita como
Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna
Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,
Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma
Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja, . Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como
Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:
onde é o calor específico em pressão constante, é o calor específico em volume constante, e é a velocidade da onda. O valor de é 1.4 se o meio acústico é ar.
Para pequenas perturbações
onde é a velocidade do som no meio.
Sendo assim,
O equilíbrio de massa então pode ser escrito como
Deixando cair os tis e definindo nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:
Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas com vetores base , então o gradiente de e a divergência de são dados por
onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como .
A equação para a conservação do momento pode ser escrita como
Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são
A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como
As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma
onde é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento
e a forma de frequencia fixa da conservação de massa
Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar para conseguir
Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como
nós podemos escrever a equação diferencial parcial como
O lado esquerdo não é uma função de enquanto que o lado direito não é uma função de . Consequentemente,
onde é uma constante. Usando a substituição
nós temos
A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral
onde é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral
onde são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é
Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar e as outras constantes indeterminadas.
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