Teoria ergódica
ramo da matemática que estuda sistemas dinâmicos / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
A teoria ergódica (do grego έργον (ergon), "trabalho" e όδος (hodos), "caminho") é um ramo da matemática que estuda sistemas dinâmicos com uma medida invariante e problemas relacionados. Seu desenvolvimento inicial foi motivado por problemas da física estatística.
Uma preocupação central da teoria ergódica é o comportamento de um sistema dinâmico quando se permite que ele funcione por um longo tempo. O primeiro resultado nesta direção é o teorema da recorrência de Poincaré, que afirma que quase todos os pontos em qualquer subconjunto do espaço físico eventualmente revisitam o conjunto. Informações mais precisas são oferecidas por vários teoremas ergódicos que afirmam que, sob certas condições, a média do tempo de uma função ao longo das trajetórias existe quase em todo lugar e está relacionada com a média do espaço. Dois dos mais importantes teoremas são os propostos pelo matemático norte-americano George David Birkhoff e pelo matemático húngaro-americano John von Neumann, que afirmam a existência de uma média de tempo ao longo de cada trajetória.[1][2][3][4] Para uma classe especial de sistemas ergódicos, esta média de tempo é a mesma para quase todos os pontos iniciais. Estatisticamente falando, o sistema que evolui por um longo tempo "esquece" seu estado inicial. Propriedades mais fortes, tais como a mistura e a equidistribuição, também têm sido extensivamente estudadas.
O problema da classificação métrica dos sistemas é outra parte importante da teoria ergódica abstrata. Um papel de destaque na teoria ergódica e suas aplicações aos processos estocásticos é desempenhado pelas várias noções de entropia para sistemas dinâmicos.
Os conceitos de ergodicidade e de hipótese ergódica são centrais para as aplicações da teoria ergódica. A ideia subjacente é que, para certos sistemas, a média de tempo de suas propriedades é igual à média sobre o espaço inteiro. Aplicações da teoria ergódica a outras partes da matemática geralmente envolvem o estabelecimento de propriedades de ergodicidade para sistemas de tipo especial. Em geometria, métodos da teoria ergódica têm sido usados para estudar o fluxo geodésico em variedades de Riemann, começando com os resultados do matemático austríaco Eberhard Hopf para superfícies de Riemann de curvatura negativa.[5] Cadeias de Markov formam um contexto comum para aplicações em teoria das probabilidades. A teoria ergódica tem conexões frutíferas com a análise harmônica, a teoria de Lie (teoria de representação, reticulados em grupos algébricos) e a teoria dos números (teoria das aproximações diofantinas, funções L).