Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de tentativas tais que:
- Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de ensaio de Bernoulli), e;
- Cada tentativa é independente das demais, e;
- A probabilidade de sucesso a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
- A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos nas tentativas.
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Março de 2019) |
Distribuição Binomial | |
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A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5) | |
A cor amarela representa a função F de distribuição acumulada da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5) | |
Parâmetros | número de ensaios probabilidade de sucesso em cada ensaio |
Suporte | |
f.d.p. | |
Média | |
Mediana | ou |
Moda | ou |
Variância | |
Obliquidade | |
Curtose | |
Entropia | |
Função Geradora de Momentos | |
Função Característica |
Função de probabilidade
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:
para e onde é uma combinação.
Colocando a função completa, incluindo a Combinação:
Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:
- A combinação contém as ordenações possíveis;
- O número de sucesso é , e;
- A probabilidade de fracassos é .
Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:
Exemplos
- Exemplo 1
Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:
Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:
Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:
Assim, a resposta é:
- Exemplo 2
Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, , é dada por:
Valor esperado e variância
Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é
e a variância é
Ligações externas
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