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Em matemática, a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) é a função f(t) que tem a propriedade: , ou também , onde denota a Transformada de Laplace. Pode ser provado que se uma função tem a transformada inversa de Laplace , i.e. é uma função seccionalmente contínua e exponencialmente restrita, satisfaz a condição:
Então é somente determinada (considerando funções que diferem da outras somente no ponto zero). Esse resultado foi provado primeiro por Mathias Lerch em 1903 e é conhecido como teorema de Lerch.
A Transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace têm algumas propriedades que as fazem útil para analisar sistemas dinâmicos lineares.
Uma formula da integral da transformada inversa de Laplace, chamada de integral de Bromwich, a integral de Fourier-Mellin , e fórmula da inversa de Mellin, é dada pela integral de linha:
Onde a integração é feito ao longo da linha vertical no plano complexo em que é maior do que a parte real de todas as singularidades de . Isto garante que o caminho de contorno esta na região de convergência. Se todas as singularidades estão à esquerda do meio do plano, ou é uma função de smooth em - ∞ < Re(s) < ∞ (i.e. no singularidades), então pode ser definido para zero e acima da formula da integral inversa tornando-se idêntica à Transformada Inversa de Fourier.
Na prática, contando que a integral complexa pode ser realizada usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Foram intitulados depois Hjalmar Mellin, Joseph Fourier e Thomaas John I' Anson Bromwich.
Se é a transformada de laplace da função , então é chamada de transformada inversa de Laplace of .
Conhecida como deslocamento ou translação do eixo S, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é:
,
ou
Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de :
Afim de entender melhor essa notação, podemos dizer que , ou seja, a função não deslocada no domínio da frequência, logo:
Portanto:
A Transformada Inversa quando há um Deslocamento do Eixo S costuma recair em alguns problemas os quais exigem métodos algébricos recorrentes, tais como método de completamento de quadrados, cálculo do valor do deslocamento a e Transformada Inversa da função sem deslocamento G(s).
Exemplo 1:
Transformamos o denominador usando completamento de quadrados:
Observando que ,
valor do deslocamento
Queremos remover o deslocamento, então:
Temos que:
Substituindo :
Substituindo a:
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