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Função matemática que fornece apenas valores reais positivos Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Valor absoluto, em álgebra, é uma função que associa a cada elemento um número real. Esta função tem algumas propriedades semelhantes à função modular, que leva cada número real a um número positivo, e que é generalizada para números complexos.
O valor absoluto nos números reais, representado por |.|, é definido pela relação de ordem nos reais. Esta função pode ser estendida aos números complexos, apesar de não ser possível embutir em (conjunto dos números complexos), uma relação de ordem total. Para algumas finalidades, torna-se interessante utilizar apenas o valor absoluto, e não a relação de ordem. Assim, pode-se definir o que seja um valor absoluto para corpos genéricos, de forma axiomática. É também possível definir um tipo de valor absoluto cujo contradomínio não sejam os números reais, mas sim corpos ordenados arbitrários.[1]
Em alguns livros, o valor absoluto é chamado de valoração,[2][3] porém em outros a valoração é outro tipo de função, onde o contradomínio não são os números reais, mas um grupo ordenado qualquer.[4][5][6]
Um valor absoluto em um corpo algébrico K qualquer é uma função |.| que associa a cada elemento x de K um número real não-negativo [Nota 1] e que satisfaz os seguintes axiomas:[1][2][3][Nota 2][4]
O valor absoluto define um homomorfismo entre o grupo multiplicativo Kx (K sem o elemento zero) e o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Como corolário, |1| = 1.[1]
O valor absoluto em um corpo K permite definir uma métrica em K, via d(x, y) = |x - y|, tornando K um corpo topológico, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são funções contínuas.[2][1]
Deve-se notar, também, que a função é contínua.[1]
De forma equivalente, uma valoração pode definir uma base para uma topologia em K, esta base é indexada pelos elementos x0 de K e os números reais positivos ε, e são os conjuntos dos x tais que |x - x0| < ε.[3][Nota 3] Esta topologia é Hausdorff.[3]
Em (conjunto dos números racionais), é imediato verificar que a função modular usual é um valor absoluto.[4] Para qualquer K que seja subcorpo de , o valor absoluto em pode ser usado como valor absoluto.[1]
Se |.| é um valor absoluto, e ρ é um número real qualquer no intervalo (0, 1), é possível verificar que a função |.|ρ também é um valor absoluto. As propriedades (1) e (2) são imediatas, sendo necessário algum esforço para demonstrar a desigualdade triangular.[1]
A função |x| = 1 para todo x ≠ 0 é um valor absoluto. Este é chamado valor absoluto trivial.[1][3][2] O valor absoluto trivial induz, no corpo topológico K, a topologia discreta.[3][2]
O exemplo mais importante de valor absoluto é o valor absoluto p-ádico.[2] Este valor absoluto, representado por |.|p, se caracteriza pelas seguintes propriedades:
O axioma de Arquimedes para os números reais é que não é um conjunto limitado superiormente. Por causa disto, um valor absoluto |.| em que os números naturais são limitados é chamado de não-arquimediano.[2]
Existem várias definições do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano:[Nota 5]
Dois valores absolutos |.|1 e |.|2 são equivalentes (escreve-se |.|1 ~ |.|2) quando eles são essencialmente a mesma função. Por exemplo, pode-se definir que |.|1 e |.|2 são equivalentes quando uma sequência converge para zero segundo |.|1 se, e somente se, ela converge para zero segundo |.|2[1]
Prova-se que as seguintes propriedades são equivalentes para dois valores absolutos |.|1 e |.|2:[1]
Pela equivalência entre as definições acima, podemos caracterizar todas formas de valor absoluto nos números racionais.[1]
Teorema: Seja |.| um valor absoluto nos números racionais. Então |.| é trivial, ou é equivalente ao valor absoluto usual, ou é equivalente ao valor absoluto p-ádico.[1]
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