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objeto estudado em geometria algébrica Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Julho de 2021) |
Se um corpo algebricamente fechado, o anel de polinômios em com variáveis, e uma família de polinômios do anel. O subconjunto de formado dos pontos que anulam todos os polinômios de é uma variedade algébrica:
Dado o corpo algebricamente fechado e um espaço afim de dimensão sobre os polinômios do anel são funções a valores em definidas sobre
Tomada uma família de polinômios o conjunto dos pontos de pelos quais as funções de são todas nulas:
é dito conjunto algébrico afim. Se não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.
É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo sobre o corpo neste caso considera-se um conjunto formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.
Um isomorfismo entre duas variedades algébricas e é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:
e são ditas isomorfas e se escreve
O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.
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