Anel (matemática)

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.^[1]

 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste numa tripla ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$, o conjunto ${\displaystyle A}$ com um elemento ${\displaystyle 0}$ e duas operações binárias ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)}$
2. Existência de elemento neutro (0) de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A):a+0=0+a=a}$
3. Existência de simétrico de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A)(\exists b\in A):a+b=0}$
4. Comutatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b\in A):a+b=b+a}$
5. Associatividade de ${\displaystyle \cdot$ :} ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
6. Distributividade de ${\displaystyle \cdot }$ em relação a ${\displaystyle +}$ (à esquerda e à direita): ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\wedge \,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Dentro desta estrutura, em particular, temos que ${\displaystyle (A,+)}$ é um grupo abeliano (comutativo).

E ${\displaystyle (A,\cdot )}$ é semigrupo.

Além disso em ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ a multiplicação é distributiva em relação à adição

${\displaystyle (a+b)\cdot c=ac+bc}$

${\displaystyle c\cdot (a+b)=ca+cb}$.

Aneis que tem propriedades a mais recebem nomes específicos:

Um anel em o que grupo ${\displaystyle (A,\cdot )}$ tem identidade diferente do zero de ${\displaystyle (A,+)}$, diz-se anel de identidade.

Um anel em que o semigrupo ${\displaystyle (A,\cdot )}$ é comutativo é dito anel comutativo.

Propriedades

• se ${\displaystyle a+c=b+c}$ então ${\displaystyle a=b}$.
• se ${\displaystyle a+b=a}$ para algum ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle b=0}$.
• ${\displaystyle -(a+b)=-a-b}$.

Exemplos

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos números complexos e os quatérnios.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+}$ ··· ${\displaystyle +a_{1}x+a_{0},}$ com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por ${\displaystyle 0.}$
• Seja ${\displaystyle (G,+)}$ um grupo abeliano e seja End(${\displaystyle G}$) o conjunto dos endomorfismos de ${\displaystyle G.}$ Se, dados ${\displaystyle f,g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$), se definir a adição de ${\displaystyle f+g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$) de ${\displaystyle f}$ com ${\displaystyle g}$ por ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ então End(${\displaystyle G}$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
• Um anel de divisão é um anel ${\displaystyle (A,+,\;\cdot \;)}$ em que ${\displaystyle (A}$ \ {${\displaystyle 0}$}${\displaystyle ,\;\cdot \;)}$ é um grupo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle a}$ um elemento de ${\displaystyle A}$ diferente de ${\displaystyle 0.}$ Diz-se que ${\displaystyle a}$ é um divisor de zero se existir algum ${\displaystyle b}$ ∈ ${\displaystyle A}$ \ ${\displaystyle \{0\}}$ tal que ${\displaystyle a.b=0}$ ou que ${\displaystyle b.a=0.}$

Exemplos:

• O anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja ${\displaystyle n}$ um número natural maior do que ${\displaystyle 1}$ e seja ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{0,,\ldots ,n-1\}}$ com a adição e o produto assim definidos: se ${\displaystyle a,b}$ ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ então ${\displaystyle a+b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ da soma dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle a.b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ do produto dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$ Então ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ tem divisores de zero quando e só quando ${\displaystyle n}$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que ${\displaystyle a.b=n}$ então, em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$${\displaystyle a.b=0.}$

Ideais

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle I}$ um subconjunto não vazio de ${\displaystyle A.}$ Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda de ${\displaystyle A}$ se

1. ${\displaystyle I\neq A}$
2. ${\displaystyle (\forall i,j\in I):i+j\in I}$
3. ${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à direita de ${\displaystyle A}$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso ${\displaystyle A}$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se ${\displaystyle m}$ ∈ Z\{±${\displaystyle 1}$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de ${\displaystyle m}$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja ${\displaystyle A}$ o conjunto das funções ${\displaystyle f}$ de R² em R² da forma

${\displaystyle f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),}$

onde ${\displaystyle a,b,c,d}$ ∈ R. Então, se ${\displaystyle 0}$ for a função nula, se ${\displaystyle +}$ for a adição de funções e se ${\displaystyle .}$ for a composição, então ${\displaystyle A}$ é um anel (não comutativo). Se

${\displaystyle I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},}$

então ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se ${\displaystyle A}$ for um anel e ${\displaystyle I}$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em ${\displaystyle A}$ a relação de equivalência ∼ assim definida:

${\displaystyle a}$ ∼ ${\displaystyle b}$ se e só se ${\displaystyle a-b}$ ∈ ${\displaystyle I.}$

Se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ seja ${\displaystyle a+I}$ a sua classe de equivalência; seja ${\displaystyle A/I}$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,}$

${\displaystyle (A/I,+)}$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à esquerda e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &a.b+I\end{array}}}$

Analogamente, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à direita e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &b.a+I\end{array}}}$

Caso ${\displaystyle I}$ seja um ideal bilateral, ${\displaystyle A/I}$ volta a ser um anel se se definir

${\displaystyle (a+I).(b+I)=a.b+I}$

Ver também

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

Referências

1. Fagundes, Pedro L. «Elementos de Álgebra - Aula 02 - Anéis». Youtube/Univesp. 4 de maio de 2018. Consultado em 13 de julho de 2018