Atractor de Lorenz

O Atractor de Lorenz foi introduzido por Edward Lorenz em 1963, que o derivou a partir das equações simplificadas de rolos de convecção que ocorrem nas equações da atmosfera. É um mapa caótico que mostra como o estado de um sistema dinâmico evolui no tempo num padrão complexo, não-repetitivo e cuja forma é conhecida por se assemelhar a uma borboleta.

A trajectória do sistema de Lorenz para valores de ρ=28, σ = 10, β = 8/3

Trata-se de um sistema não-linear, tridimensional e determinístico que exibe comportamento caótico e demonstra aquilo a que hoje se chama um atractor estranho.

As equações que governam o Atractor de Lorenz são:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y}$

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z}$

em que a ${\displaystyle \sigma }$ se chama o número de Prandtl e a ${\displaystyle \rho }$ se chama o número de Rayleigh. Todos os ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \beta }$ > 0, mas usualmente ${\displaystyle \sigma }$ = 10, ${\displaystyle \beta }$ = 8/3, enquanto ${\displaystyle \rho }$ varia. O sistema exibe comportamento caótico para ${\displaystyle \rho }$ = 28 mas tem órbitas periódicas para outros valores de ${\displaystyle \rho }$.

O efeito borboleta no atractor de Lorenz

O efeito borboleta
Tempo t=1 (maior)	Tempo t=2 (maior)	Tempo t=3 (maior)
Estas figuras — feita usando ρ=28, σ = 10 and β = 8/3 — mostram três segmentos temporais da evolução 3-D no atractor de Lorenz de duas trajectórias (uma a azul, a outra a amarelo), começando em dois pontos iniciais que diferem apenas de 10-5 na coordenada x. Inicialmente, as duas trajectórias parecem coincidir (só se vendo a amarela, por estar desenhada sobre a azul) mas, ao fim de algum tempo, a divergência é óbvia.
Uma animação Java do atractor de Lorenz mostra a evolução contínua.

Usando valores diferentes para o número de Rayleigh

O atractor de Lorenz para valores diferentes de ρ
ρ=14, σ=10, β=8/3 (maior)	ρ=13, σ=10, β=8/3 (maior)
ρ=15, σ=10, β=8/3 (maior)	ρ=28, σ=10, β=8/3 (maior)
Para valores pequenos de ρ, o sistema é estável e evolui para um de dois pontos atractores. Quando ρ é maior do que 24.74, os pontos fixos tornam-se repulsores e a trajectória é repelida por eles de um modo muito complexo, evoluindo sem nunca se cruzar sobre si própria.
Animação Java mostrando a evolução para valores diferentes de ρ

Ver também

• Edward Lorenz
• Teoria do Caos
• Efeito borboleta
• Sistemas complexos

Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Atractor de Lorenz

• O atractor de Lorenz