Conjunto de partes

A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado ${\displaystyle A}$ é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência) de ${\displaystyle A}$, denotado por ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ ou ${\displaystyle 2^{A}}$.^[1]

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de ${\displaystyle A}$.

Se ${\displaystyle S}$ é o conjunto de três elementos ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ a lista completa de subconjuntos de ${\displaystyle A}$ é:

• ${\displaystyle \{\}}$ (o conjunto vazio);
• ${\displaystyle \{x\}}$;
• ${\displaystyle \{y\}}$;
• ${\displaystyle \{z\}}$;
• ${\displaystyle \{x,y\}}$;
• ${\displaystyle \{x,z\}}$;
• ${\displaystyle \{y,z\}}$;
• ${\displaystyle \{x,y,x\}}$;

e portanto o conjunto de partes de ${\displaystyle A}$ é o conjunto de oito elementos:

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}}$.

Cardinalidade

O número de elementos do conjunto de partes de ${\displaystyle A}$ é sempre maior que o número de elementos de ${\displaystyle A}$, mesmo no caso de ${\displaystyle A}$ ter um número infinito de elementos.

Se ${\displaystyle A}$ tem ${\displaystyle n}$ elementos, pode-se provar que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ tem ${\displaystyle 2^{n}}$ elementos. No caso de ${\displaystyle A}$ ser um conjunto infinito, define-se ${\displaystyle 2^{|A|}=|{\mathfrak {P}}(A)|}$ (em que ${\displaystyle |A|}$ representa o número de elementos de ${\displaystyle A}$). Por outro lado, sendo ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}$, também pode ser provado que ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |}$.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$, ou seja, um conjunto com mais elementos que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e menos elementos que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$.

Teoria dos Conjuntos

Na teoria dos conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

Ver também

• Wikilivro — b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ tem ${\displaystyle 2^{|A|}}$ elementos.

Referências

1. Goldstern, Martin; Kellner, Jakob (16 de agosto de 2021). «A deep math dive into why some infinities are bigger than others». Scientific American (em inglês). Consultado em 30 de dezembro de 2024

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e