Constante matemática

 Nota: Para um tratamento mais restrito relacionado a este tema, veja Constante matemática.

Em matemática, a palavra constante transmite múltiplos significados. Como adjetivo, refere-se à não variação (isto é, que não muda em relação a algum outro valor); como substantivo, possui dois significados diferentes:

• Um número fixo e bem definido ou outro objeto matemático que não muda, ou o símbolo que o representa.^[1][2] Os termos constante matemática ou constante física são às vezes usados para distinguir este significado.^[3]
• Uma função cujo valor permanece inalterado (isto é, uma função constante).^[4] Tal constante é comumente representada por uma variável que não depende da(s) variável(is) principal(is) em questão.

Por exemplo, uma função quadrática geral é comumente escrita como:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,,}$

onde a, b e c são constantes (coeficientes ou parâmetros), e x é uma variável—um espaço reservado para o argumento da função em estudo. Uma forma mais explícita de denotar esta função é

${\displaystyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,}$

o que deixa clara a condição de argumento da função de x (e por extensão, a constância de a, b e c). Neste exemplo, a, b e c são coeficientes do polinômio. Como c aparece em um termo que não envolve x, ele é chamado de termo constante do polinômio e pode ser visto como o coeficiente de x⁰. Mais geralmente, qualquer termo ou expressão polinomial de grau zero (sem variável) é uma constante.^[5]:18

Função constante

Ver artigos principais: Função constante e Nular

Uma constante pode ser usada para definir uma função constante que ignora seus argumentos e sempre retorna o mesmo valor.^[6] Uma função constante de uma variável, como ${\displaystyle f(x)=5}$, possui um gráfico de uma linha horizontal paralela ao eixo x.^[7] Tal função sempre assume o mesmo valor (neste caso, 5), pois a variável não aparece na expressão que define a função.

Gráfico de ${\displaystyle f(x)=5}$.

Dependência do contexto

A natureza dependente do contexto do conceito de "constante" pode ser observada neste exemplo de cálculo elementar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{já que }}x{\text{ é constante (ou seja, não depende de }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constante,} &&{\text{onde }}\mathbf {constante} {\text{ significa que não depende de }}x.\end{aligned}}}$

"Constante" significa não depender de alguma variável; não mudar conforme essa variável muda. No primeiro caso acima, significa não depender de h; no segundo, significa não depender de x. Uma constante em um contexto mais restrito pode ser considerada uma variável em um contexto mais amplo.

Constantes matemáticas notáveis

Ver artigo principal: Constante matemática

Alguns valores ocorrem frequentemente em matemática e são convencionalmente representados por um símbolo específico. Esses símbolos e seus valores são chamados de constantes matemáticas. Exemplos incluem:

• 0 (zero).
• 1 (um), o número natural após o zero.
• π (pi), a constante que representa a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,141592653589793238462643.^[8]
• e, aproximadamente igual a 2,718281828459045235360287.^[9]
• i, a unidade imaginária tal que i² = −1.^[10]
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (raiz quadrada de 2), o comprimento da diagonal de um quadrado com lados unitários, aproximadamente igual a 1,414213562373095048801688.^[11]
• φ (razão áurea), aproximadamente igual a 1,618033988749894848204586, ou algebricamente, ${\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2}$.^[12]

Constantes em cálculo

Em cálculo, constantes são tratadas de várias formas dependendo da operação. Por exemplo, a derivada (taxa de variação) de uma função constante é zero. Isso ocorre porque constantes, por definição, não mudam. Logo, sua derivada é zero.

Por outro lado, ao integrar uma função constante, a constante é multiplicada pela variável de integração.

Durante a avaliação de um limite, uma constante permanece igual antes e depois da avaliação.

A integração de uma função de uma variável frequentemente envolve uma constante de integração. Isso ocorre porque a integral é a inversa da derivada, ou seja, o objetivo da integração é recuperar a função original antes da diferenciação. A derivada de uma função constante é zero, como mencionado acima, e o operador diferencial é linear, então funções que diferem apenas por um termo constante têm a mesma derivada. Para reconhecer isso, uma constante de integração é adicionada a uma integral indefinida; isso garante que todas as soluções possíveis estejam incluídas. A constante de integração geralmente é representada por "c", e representa um valor fixo, mas indefinido.

Exemplos

Se f é a função constante tal que ${\displaystyle f(x)=72}$ para todo x, então:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}}$

Veja também

• Constante (desambiguação)
• Expressão
• Conjunto de nível
• Lista de constantes matemáticas
• Constante física

Referências

1. Sobolev, S. K. (2001), «Constant», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
2. Sobolev, S. K. (2001), «Individual constant», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
3. «Definition of CONSTANT». www.merriam-webster.com (em inglês). Consultado em 9 de novembro de 2021
4. Weisstein, Eric W. «Constante matemática». MathWorld (em inglês)
5. Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition Classics ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9
6. Tanton, James (2005). Encyclopedia of mathematics. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904
7. «Algebra». tutorial.math.lamar.edu. Consultado em 9 de novembro de 2021
8. Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed. [S.l.]: Springer. p. 240. ISBN 978-3540665724
9. Weisstein, Eric W. «e». MathWorld (em inglês)
10. Weisstein, Eric W. «i». MathWorld (em inglês)
11. Weisstein, Eric W. «Pythagoras's Constant». MathWorld (em inglês)
12. Weisstein, Eric W. «Golden Ratio». MathWorld (em inglês)