Cubo de Cantor

Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o cubo de Cantor é a generalização do conjunto ternário de Cantor.

Definição

Denotemos por ${\displaystyle D}$ o subspaço ${\displaystyle \{0,1\}}$ da reta real. Dado um cardinal ${\displaystyle \kappa \geq \omega }$, definimos por cubo de Cantor de peso ${\displaystyle \kappa }$ o espaço ${\displaystyle D^{\kappa }}$, com a topologia produto; isto é o produto ${\displaystyle \Pi _{s\in S}D_{s}}$, tal que a cardinalidade de ${\displaystyle S}$ é ${\displaystyle \kappa }$ e, para todo ${\displaystyle s\in S,\,D_{s}=D}$.

Em especial, ${\displaystyle D^{\omega }}$ é o conjunto ternário de Cantor.

Propriedades

• Como ${\displaystyle D}$ é fechado e limitado, e portanto compacto, segue que, para qualquer ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle D^{\kappa }}$ é compacto.

• Para qualquer ${\displaystyle \kappa }$, o peso de ${\displaystyle D^{\kappa }}$ é ${\displaystyle \kappa }$.

• Para qualquer ${\displaystyle \kappa }$ e qualquer ${\displaystyle x\in D^{\kappa }}$, o carácter de tal ponto é ${\displaystyle \kappa }$.

• Para qualquer ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle D^{\kappa }}$ é zero- dimensional.

• Para qualquer ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle D^{\kappa }}$ é um espaço universal para qualquer espaço zero-dimensional.

Referencias

• Rysxard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.