Distribuição de Bernoulli

Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso ${\displaystyle p}$ e valor 0 com a probabilidade de falha ${\displaystyle q=1-p}$.

Distribuição de Bernoulli

Função massa de probabilidade Densidade de probabilidade A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição de Bernoulli ~ Bern(0.5)
Função de distribuição cumulativa Função de distribuição acumulada A cor amarela representa a função f de distribuição acumulada da distribuição de Bernoulli ~ Bern(0.5)
Parâmetros	${\displaystyle 0<p<1,p\in \mathbb {R} }$
Suporte	${\displaystyle k\in \{0,1\}}$
FDP	${\displaystyle {\begin{cases}1-p&{\text{se }}k=0\\[6pt]p&{\text{se }}k=1.\end{cases}}}$
FDA	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{se }}k<0\\[6pt]1-p&{\text{se }}0\leq k<1\\[6pt]1&{\text{se }}k\geq 1\end{cases}}}$
Média	${\displaystyle p}$
Mediana	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{se }}p<0.5,\\[6pt]0.5&{\text{se }}p=0.5,\\[6pt]1&{\text{se }}p>0.5.\end{cases}}}$
Moda	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{se }}p<0.5,\\[6pt]0,1&{\text{se }}p=0.5,\\[6pt]1&{\text{se }}p>0.5.\end{cases}}}$
Variância	${\displaystyle p(1-p)}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {p(1-p)}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{p(1-p)}}}$
Entropia	${\displaystyle -(1-p)ln(1-p)-pln(p)}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle 1-p+pe^{t}}$
Função Característica	${\displaystyle 1-p+pe^{it}}$

Propriedades

Se ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

${\displaystyle P(X=1)=1-P(X=0)=1-q=p.\!}$

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar "coroa" com probabilidade ${\displaystyle p}$ e "cara" com probabilidade ${\displaystyle 1-p}$. A experiência é dita justa se ${\displaystyle p=0.5}$, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados tem a mesma probabilidade).

A [função de probabilidade] ${\displaystyle f}$ dessa distribuição é

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{se }}k=1,\\[6pt]1-p&{\text{se }}k=0.\end{cases}}}$

Também pode ser expresso como

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\quad {\text{para }}k\in \{0,1\}.}$

O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli ${\displaystyle X}$ é ${\displaystyle E\left(X\right)=p}$, e sua variância é

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}$

A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial, com ${\displaystyle n=1}$.

A curtose vai até o infinito para grandes e pequenos valores de ${\displaystyle p}$, mas para ${\displaystyle p=1/2}$ a distribuição de Bernoulli tem um excesso de curtose mais baixo que qualquer outra distribuição de probabilidade (-2).

As distribuições de Bernoulli para ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ formam uma família exponiencial.

O estimador de máxima verossimilhança de ${\displaystyle p}$ baseada em uma amostra aleatória é a média amostral.

Distribuições relacionadas

• Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\,}$ são n distribuições de Bernoulli independentes com o mesmo parâmetro p, então sua soma ${\displaystyle X=\Sigma X_{i}\,}$ é a distribuição binomial ${\displaystyle {\mbox{Binomial}}(n,p)\,}$.
• A distribuição categórica é a generalização da distribuição de Bernoulli para variáveis com qualquer quantidade constante de valores discretos.
• A distribuição beta é o conjugado a priori da distribuição de Bernoulli.
• A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli independentes e idênticos necessários para conseguir um sucesso.

Ver também

• Processo de Bernoulli
• Limite de Chernoff