Espaço compacto

Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências

Um recobrimento para um conjunto ${\displaystyle X}$ é uma coleção ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {R}}=X}$. Um subrecobrimento de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ é uma coleção ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}}$ que também é um recobrimento de ${\displaystyle X}$, i.e. ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=X}$.

Diz-se que um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de ${\displaystyle X}$ admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de subconjuntos de um conjunto ${\displaystyle X}$ possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}}$ finita, verificar ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}_{0}\neq \emptyset }$. É passivo de verificação que, um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de ${\displaystyle X}$ com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é uma coleção de abertos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de ${\displaystyle X}$ tal que, para qualquer aberto ${\displaystyle U\subseteq X}$, existe ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{U}\subseteq {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle U=\bigcup {\mathcal {B}}_{U}}$. Uma subbase para ${\displaystyle X}$ é uma coleção ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ não-vazia de abertos desse espaço tal que

${\displaystyle \left\{\bigcap {\mathcal {S}}_{0}:{\mathcal {S}}_{0}\subseteq {\mathcal {S}}{\text{ e }}{\mathcal {S}}_{0}{\text{ é finita e não-vazia}}\right\}}$

é uma base de ${\displaystyle X}$. É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de ${\displaystyle X}$ por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se ${\displaystyle X}$ é um espaço topológico, diz-se que um ponto ${\displaystyle x\in X}$ é um ponto de acumulação total de um subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ se, dada qualquer vizinhança ${\displaystyle U\subseteq X}$ de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle |A\cap U|=|A|}$. É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

• ${\displaystyle X}$ é compacto;
• Qualquer subconjunto infinito de ${\displaystyle X}$ possui um ponto de acumulação completo;
• Dada qualquer sequência transfinita ${\displaystyle \subseteq }$-decrescente ${\displaystyle \langle F_{\lambda }\rangle _{\lambda <\alpha }}$ de fechados não-vazios de ${\displaystyle X}$, a intersecção ${\displaystyle \bigcap _{\lambda <\alpha }F_{\lambda }}$ é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço ${\displaystyle X}$, são equivalentes:

• X é (quase-)compacto;
• Para qualquer espaço ${\displaystyle Y}$ a projeção ${\displaystyle p:X\times Y\to Y}$ é fechada;
• Para qualquer espaço normal ${\displaystyle Y}$ a projeção ${\displaystyle p:X\times Y\to Y}$ é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff ${\displaystyle X}$, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

• ${\displaystyle X}$ é (quase-)compacto;
• Qualquer filtro em ${\displaystyle X}$ admitir um ponto de acumulação;
• Qualquer rede em ${\displaystyle X}$ admitir um ponto de acumulação.

Exemplos

• Qualquer espaço finito é quase-compacto;
• Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
• A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
• Qualquer conjunto fechado e limitado de um espaço euclididano (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) é compacto.^[1]
• Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades

• Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
• Qualquer compacto é um espaço normal;
• Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
• Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
• Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
• A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• Toda função contínua de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ definida num compacto é uniformemente contínua.^[2]

Ver também

• Espaço sequencialmente compacto
• Espaço enumeravelmente compacto
• Paracompacidade
• Espaço de Lindelöf
• Compactificação

Referências

1. Lima 1981, p. 43.
2. Lima 1981, p. 46, Teorema 21.