Espaço métrico

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde a distância entre quaisquer dois de seus elementos é definida por uma função chamada métrica.^[1] A métrica permite que a noção de continuidade seja estendida para funções entre espaços métricos. Os espaços métricos são exemplos de uma classe mais abrangente de espaços, chamados espaços topológicos.

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre ${\displaystyle X}$ é uma função ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ que associa um par ${\displaystyle (x,y)\in X\times X}$ ao número ${\displaystyle d(x,y)}$, chamado de distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, de modo que para quaisquer ${\displaystyle x,y,z\in X}$ valem:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$;
2. Se ${\displaystyle x\neq y}$, então, ${\displaystyle d(x,y)>0}$ (positividade);
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (simetria);
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desigualdade triangular).

Um par ${\displaystyle (X,d)}$ em que ${\displaystyle X}$ é um conjunto e ${\displaystyle d}$ é uma métrica é chamado de espaço métrico.^[2]

De forma intuitiva, pode-se pensar no conjunto ${\displaystyle X}$ como um conjunto de locais ligados por um sistema de estradas. A distância entre dois pontos pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga dois desses locais. Deste modo, a simetria significa que neste sistema de estradas não deve haver estradas de mão única e a desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos.

Exemplos de Espaços Métricos

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}}$, é o espaço de dimensão ${\displaystyle n\,}$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto ${\displaystyle X}$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• ${\displaystyle (X,d)\,}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.}$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto ${\displaystyle A\subset X}$de um espaço métrico ${\displaystyle X}$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição ${\displaystyle d|_{A\times A}\to \mathbb {R} }$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio ${\displaystyle [a,b]}$ e contradomínio real. Então ${\displaystyle d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,}$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Espaços vetoriais normados

Qualquer Espaço vetorial munido de uma norma ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ é um espaço métrico. Seja ${\displaystyle {\mathsf {E}}}$ um espaço vetorial. Uma norma em ${\displaystyle {\mathsf {E}}}$ é uma função | |: ${\displaystyle {\mathsf {E}}}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$, que associa cada vetor ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathsf {E}}}$ o número real ||${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$|| chamada a norma de ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$, de modo a serem cumpridas as condições abaixo para quaisquer ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathsf {E}}}$ e ${\displaystyle \lambda }$ escalar^[3]:

1. Se ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \neq }$ 0 então ||${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$|| ${\displaystyle \neq }$ 0 ;
2. ||${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$|| = |${\displaystyle \lambda }$| ${\displaystyle \cdot }$||${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$|| ;
3. || ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ + ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ || ${\displaystyle \leq }$ ||${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$|| + ||${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$||

Todo espaço vetorial normado (${\displaystyle {\mathsf {E}}}$, |${\displaystyle \cdot }$ | ) torna-se um espaço métrico por meio da definição ${\displaystyle d(x,y)=||x-y||}$. Esta métrica diz-se proveniente da norma |${\displaystyle \cdot }$| . As propriedades 1 a 4 das distâncias são válidas para distâncias(métricas) que provém de normas. Essas propriedades resultam imediatamente das propriedades da norma. ^[4]

1. ${\displaystyle d(x,y)=||x-y||=0\Leftrightarrow x=y}$
2. Se ${\displaystyle x\neq y}$ então ${\displaystyle d(x,y)=||x-y||>0}$ pois ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \Rightarrow 0=||(x-y)-(x-y)||\leq ||x-y||+||y-x||=2.||x-y||}$ e ${\displaystyle x\neq y\Rightarrow ||x-y||\neq 0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=||x-y||=|-1|.||y-x||=||y-x||=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)=||x-z||=||x+y-y-z||\leq ||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(x,z)}$ ^[5]

Topologia de um espaço métrico

Definição. Sejam ${\displaystyle (X,d)}$ um espaço métrico e ${\displaystyle U\subset X}$ um subconjunto, diz-se que ${\displaystyle U}$ é um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$ quando para todo elemento ${\displaystyle x_{0}\in U}$ existe algum ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que ${\displaystyle x\in U}$ sempre que ${\displaystyle d(x,x_{0})<\epsilon }$.

Uma classe importante de conjuntos abertos são as chamadas bolas abertas, para um ponto ${\displaystyle x_{0}\in X}$ e um número real ${\displaystyle r>0}$, chama-se bola aberta de centro ${\displaystyle x_{0}}$e raio ${\displaystyle r}$ o subconjunto ${\displaystyle B(x_{0};r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\}}$. Pode-se mostrar que toda bola aberta é um subconjunto aberto e que todo subconjunto aberto pode ser escrito como a reunião de uma família (enumerável ou não) de bolas abertas.

A classe dos conjuntos abertos gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$ e ${\displaystyle X}$ são subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$;
2. Se ${\displaystyle \{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ é uma família indexada de subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$, então a reunião ${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }}$ é também um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$;
3. Se ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$são subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$, então a interseção ${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{n}U_{k}}$ é também um subconjunto aberto de ${\displaystyle X}$.

As propriedades 1, 2 e 3 acima caracterizam a classe ${\displaystyle \tau \subset {\mathcal {P}}(X)}$ dos subconjuntos abertos de ${\displaystyle X}$ como uma topologia, chamada de topologia induzida pela métrica ${\displaystyle d}$, de modo que o par ${\displaystyle (X,\tau )}$ é um espaço topológico.^[2]

Conjuntos fechados

Definição. Um ponto ${\displaystyle a}$ que pertence a um subconjunto ${\displaystyle A}$ de um espaço métrico ${\displaystyle M}$ é dito um ponto aderente de ${\displaystyle A}$ quando, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, podemos encontrar ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle d(x,a)<\varepsilon }$ .

O fecho(ou aderência) de um conjunto ${\displaystyle A}$ num espaço métrico ${\displaystyle M}$ é o conjunto ${\displaystyle {\bar {A}}}$ dos pontos de ${\displaystyle M}$ que são aderentes a ${\displaystyle A}$. Portanto, escrever ${\displaystyle a\in {\bar {A}}}$ é o mesmo que afirmar que o ponto ${\displaystyle a}$ é aderente a ${\displaystyle A}$ em ${\displaystyle M}$.^[6]

Diz-se que um conjunto ${\displaystyle F\subset M}$ é fechado no espaço métrico ${\displaystyle M}$ quando seu complementar ${\displaystyle M-F}$ é aberto em ${\displaystyle M}$. Podemos também definir um conjunto fechado como sendo um conjunto ${\displaystyle F\subset M}$ tal que ${\displaystyle F={\bar {F}}}$. Pode-se mostrar que essas definições são equivalentes.^[7]

Os subconjuntos fechados de um espaço métrico ${\displaystyle M}$ gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$ e o espaço inteiro ${\displaystyle M}$ são fechados;
2. A reunião ${\displaystyle F=F_{1}\cup ...\cup F_{n}}$ de um número finito de subconjuntos fechados ${\displaystyle F_{1},...,F_{n}\subset M}$ é um subconjunto fechado de ${\displaystyle M}$.
3. A interseção ${\displaystyle F=\bigcap F_{\lambda }}$ de uma família qualquer ${\displaystyle (F_{\lambda })_{\lambda \in L}}$ (finita ou infinita) de subconjuntos fechados ${\displaystyle F_{\lambda }\subset M}$ é um subconjunto fechado de ${\displaystyle M}$.^[8]

Funções Contínuas

Definição. Sejam ${\displaystyle M,N}$ espaços métricos. Diz-se que a aplicação ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ é contínua no ponto ${\displaystyle a\in M}$ quando, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ dado, é possível obter ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle d(x,a)<\delta }$ implica ${\displaystyle d(f(x),f(a))<\varepsilon }$ .

Diz-se que ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ é contínua quando ela é contínua em todos os pontos ${\displaystyle a\in M}$ .

Equivalentemente, ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ é contínua no ponto ${\displaystyle a\in M}$ quando, dada qualquer bola ${\displaystyle B'=B(f(a),\varepsilon )}$ de centro ${\displaystyle f(a)}$, pode-se encontrar uma bola ${\displaystyle B=B(a,\delta )}$ , de centro ${\displaystyle a}$, tal que ${\displaystyle f(B)\subset B'}$.^[9]

Exemplos.

1. Dada ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$, suponhamos que exista uma constante ${\displaystyle c>0}$ (chamada constante de Lipschitz) tal que ${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)}$ para quaisquer que sejam os ${\displaystyle x,y\in M}$. Dizemos então que ${\displaystyle f}$ é uma aplicação lipschitziana. Neste caso, ${\displaystyle f}$ é contínua. Com efeito, dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, tomemos ${\displaystyle \delta =\varepsilon /c}$. Então ${\displaystyle d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(a))\leq c\cdot d(x,a)<c\cdot \varepsilon /c=\varepsilon }$ .^[10]
2. Dado um ${\displaystyle a\in M}$ que seja ponto isolado de ${\displaystyle M}$ (isto é, um elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle M}$ tal que existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tal que ${\displaystyle B(a,\varepsilon )=\{a\}}$) , então toda aplicação ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ é contínua no ponto ${\displaystyle a}$. Com efeito, dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, basta tomar ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle B(a,\delta )=\{a\}}$. Assim, ${\displaystyle d(a,x)<\delta \Rightarrow d(f(a),f(x))=0<\varepsilon }$.^[11]
3. Uma aplicação ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ chama-se uma imersão isométrica quando ${\displaystyle d(x,y)=d(f(x),f(y))}$ para quaisquer ${\displaystyle x,y\in M}$. Neste caso, diz-se também que ${\displaystyle f}$ preserva distâncias.^[12] Note que dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e ${\displaystyle a\in M}$ qualquer, se ${\displaystyle d(x,a)<\delta }$ com ${\displaystyle \delta =\varepsilon }$ então ${\displaystyle d(f(x),f(a))=d(x,a)<\delta =\varepsilon }$, implicando que ${\displaystyle f}$ é contínua.

Homeomorfismos

Sejam ${\displaystyle M,N}$ espaços métricos. Um homeomorfismo de ${\displaystyle M}$ sobre ${\displaystyle N}$ é uma bijeção contínua ${\displaystyle f:M\longrightarrow N}$ cuja inversa ${\displaystyle f^{-1}:N\rightarrow M}$ também é uma bijeção contínua. Neste caso, diz-se que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são homeomorfos. Ás vezes se usa a expressão "equivalência topológica" em vez de "homeomorfismo". Dois espaços métricos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista da Topologia. Uma propriedade de que goza um espaço ${\displaystyle M}$ é chamada de uma propriedade topológica quando todo espaço homeomorfo a ${\displaystyle M}$ também goza de tal propriedade. As propriedades topológicas se distinguem das propriedades métricas de ${\displaystyle M}$ que são preservadas pelas isométricas ^[13].

Exemplos:

1. Seja ${\displaystyle M}$ um espaço vetorial normado. Para todo ${\displaystyle a\in M}$ e para todo número real ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, a translação ${\displaystyle t_{a}:M\rightarrow M}$ e a homotetia ${\displaystyle m_{\lambda }:M\rightarrow M}$, definidas por ${\displaystyle t_{a}(x)=x+a}$ e ${\displaystyle m_{\lambda }(x)=\lambda \cdot x}$ são homeomorfismos de ${\displaystyle M}$ . De fato, sabemos que ${\displaystyle t_{a}}$ e ${\displaystyle m_{\lambda }}$ são contínuas. Além disso, possuem inversas: ${\displaystyle (t_{a})^{-1}=t_{-a}}$ e ${\displaystyle (m_{\lambda })^{-1}=m_{\mu }}$ (onde ${\displaystyle \mu =1/\lambda }$), as quais também são contínuas.
2. Duas bolas abertas ${\displaystyle B(a;r)}$ e ${\displaystyle B(b;s)}$ em ${\displaystyle M}$ são homeomorfas. Mais precisamente, a composta ${\displaystyle \varphi =t_{b}\circ m_{s/r}\circ t_{-a}}$ define um homeomorfismo ${\displaystyle \varphi :M\rightarrow M}$. Em especial, o homeomorfismo ${\displaystyle \varphi }$ é tal que ${\displaystyle \varphi (B(a;r))=B(b;s)}$.^[14]