Espaço quociente (álgebra linear)

Em álgebra linear, o quociente de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ por um subespaço ${\displaystyle N}$ é um espaço vetorial obtido pelo "colapso" de ${\displaystyle N}$ a zero. O espaço obtido é chamado de espaço quociente e é denotado por ${\displaystyle V/N}$.

Definição

Formalmente, a construção do conceito ocorre na seguinte maneira (Halmos 1974, §21-22). Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial sobre o corpo ${\displaystyle K}$, e seja ${\displaystyle N}$ um subespaço de ${\displaystyle V}$. Define-se uma relação de equivalência ${\displaystyle \sim }$ em ${\displaystyle V}$ ao afirmar que ${\displaystyle x\sim y}$ ocorre se ${\displaystyle x-y\in N}$. Isto é, ${\displaystyle x}$ está relacionado a ${\displaystyle y}$ se um puder ser obtido a partir do outro ao somar um elemento pertencente a ${\displaystyle N}$. Dessa definição, é possível deduzir que qualquer elemento em ${\displaystyle N}$ está relacionado ao vetor nulo; mais precisamente, todos os vetores em ${\displaystyle N}$ são mapeados para a classe de equivalência do vetor nulo.

A classe de equivalência (ou, nesse caso, a coclasse) de ${\displaystyle x}$ é frequentemente denotada como

${\displaystyle [x]=x+N}$

já que é dada por

${\displaystyle [x]=\{x+n:n\in N\}.}$

O espaço quociente V/N é então definido como ${\displaystyle V/\sim }$, o conjunto de todas as classes de equivalência sobre ${\displaystyle V}$ por ${\displaystyle \sim }$. A multiplicação por escalares e a adição estão definidas em classes de equivalência como

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]\;\forall \alpha \in K}$, e
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y].}$

Não é difícil verificar que essas operações estão bem definidas (isto é, não dependem na escolha de representação). Essas operações tornam o espaço quociente ${\displaystyle V/N}$ em um espaço vetorial sobre ${\displaystyle K}$ com ${\displaystyle N}$ sendo a classe zero, ${\displaystyle [0]}$.

O mapeamento que associa à ${\displaystyle v\in V}$ a classe de equivalência ${\displaystyle [v]}$ é conhecido como mapeamento quociente.

Referências

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, ISBN 978-0-387-90093-3, Springer.
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume II, Academic Press.

• Portal da matemática