Gottlob Frege

Friedrich Ludwig Gottlob Frege ([ˈfreɪɡə];^[2] de; 8 de novembro de 1848 – 26 de julho de 1925) foi um filósofo, lógico e matemático alemão. Foi professor de matemática na Universidade de Jena e é compreendido por muitos como o pai da filosofia analítica, concentrando-se na filosofia da linguagem, lógica e filosofia da matemática. Embora tenha sido amplamente ignorado durante sua vida, Giuseppe Peano (1858–1932), Bertrand Russell (1872–1970) e, em certa medida, Ludwig Wittgenstein (1889–1951) introduziram seu trabalho para gerações posteriores de filósofos. Frege é amplamente considerado um dos maiores lógicos desde Aristóteles e um dos mais profundos filósofos da matemática de todos os tempos.^[3]

Gottlob Frege
Begriffsschrift
Nascimento	Friedrich Ludwig Gottlob Frege 8 de novembro de 1848 Wismar, Mecklemburgo-Schwerin
Morte	26 de julho de 1925 (76 anos) Bad Kleinen, Mecklemburgo-Pomerânia Ocidental
Nacionalidade	alemão
Cidadania	Alemanha
Cônjuge	Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg
Alma mater	Universidade de Göttingen
Ocupação	lógico, filósofo analítico, filósofo da linguagem, professor universitário, matemático
Empregador(a)	Universidade de Jena
Orientador(a)(es/s)	Ernst Christian Julius Schering e Alfred Clebsch[1]
Tese	1873: Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene
Obras destacadas	Sense and reference, Begriffsschrift, Os Fundamentos da Aritmética
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Suas contribuições incluem o desenvolvimento da lógica moderna no Begriffsschrift e o trabalho nos fundamentos da matemática. Seu livro The Foundations of Arithmetic é o texto seminal do projeto logicista e é citado por Michael Dummett como o ponto de virada linguístico. Seus artigos filosóficos "On Sense and Reference" e "The Thought" também são amplamente citados. O primeiro argumenta a favor de dois tipos diferentes de significado e descritivismo. Em Fundamentos e "The Thought", Frege argumenta a favor do Platonismo contra o psicologismo ou formalismo, concernente a números e proposições, respectivamente.

Vida

Infância (1848–1869)

Frege nasceu em 1848 em Wismar, Mecklemburgo-Schwerin (hoje parte de Mecklemburgo-Pomerânia Ocidental no norte da Alemanha). Seu pai, Carl (Karl) Alexander Frege (1809–1866), foi cofundador e diretor de uma escola secundária para meninas até sua morte. Após a morte de Carl, a escola foi liderada pela mãe de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (nascida Bialloblotzky, 12 de janeiro de 1815 – 14 de outubro de 1898); sua mãe era Auguste Amalia Maria Ballhorn, uma descendente de Philipp Melanchthon^[4] e seu pai era Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky. Frege era luterano.^[5]

Na infância, Frege encontrou filosofias que guiariam sua futura carreira científica. Por exemplo, seu pai escreveu um livro didático sobre a língua alemã para crianças de 9 a 13 anos, intitulado Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2ª ed., Wismar 1850; 3ª ed., Wismar e Ludwigslust: Hinstorff, 1862) (Livro de ajuda para o ensino de alemão para crianças de 9 a 13 anos), cuja primeira seção tratava da estrutura e lógica da linguagem.^[6]

Frege estudou na de e se formou em 1869.^[7] O professor de matemática e ciências naturais Gustav Adolf Leo Sachse (1843–1909), que também era poeta, desempenhou um papel importante na determinação da futura carreira científica de Frege, incentivando-o a continuar seus estudos em sua própria alma mater, a Universidade de Jena.^[6]

Estudos universitários (1869–1874)

Frege matriculou-se na Universidade de Jena na primavera de 1869 como cidadão da Confederação da Alemanha do Norte. Nos quatro semestres de seus estudos, ele frequentou aproximadamente vinte cursos de palestras, a maioria sobre matemática e física. Seu professor mais importante foi Ernst Karl Abbe (1840–1905; físico, matemático e inventor). Abbe ministrou palestras sobre teoria da gravidade, galvanismo e eletrodinâmica, análise complexa teoria de funções de uma variável complexa, aplicações da física, divisões selecionadas da mecânica e mecânica dos sólidos. Abbe era mais do que um professor para Frege: era um amigo de confiança e, como diretor da fabricante óptica Carl Zeiss AG, estava em posição de avançar na carreira de Frege. Após a graduação de Frege, eles entraram em correspondência mais próxima.^[6]

Seus outros notáveis professores universitários foram Christian Philipp Karl Snell (1806–1886; disciplinas: uso de análise infinitesimal em geometria, geometria analítica de planos, mecânica analítica, óptica, fundamentos físicos da mecânica); Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer (1824–1900; geometria analítica, física aplicada, análise algébrica, sobre o telégrafo e outras máquinas eletrônicas); e o filósofo Kuno Fischer (1824–1907; kantiano e filosofia crítica).^[6]

A partir de 1871, Frege continuou seus estudos em Göttingen, a principal universidade em matemática nos territórios de língua alemã, onde frequentou as palestras de Alfred Clebsch (1833–1872; geometria analítica), Ernst Christian Julius Schering (1824–1897; teoria de funções), Wilhelm Eduard Weber (1804–1891; estudos físicos, física aplicada),^[8] Eduard Riecke (1845–1915; teoria da eletricidade) e Hermann Lotze (1817–1881; filosofia da religião). Muitas das doutrinas filosóficas do Frege maduro têm paralelos em Lotze; tem sido objeto de debate acadêmico se houve ou não uma influência direta nas visões de Frege decorrente de sua participação nas palestras de Lotze.^[8]

Em 1873, Frege obteve seu doutorado sob Schering.^[6]

Frege casou-se com Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 de fevereiro de 1856 – 25 de junho de 1904) em 14 de março de 1887.^[7] O casal teve pelo menos dois filhos, que morreram quando jovens. Anos depois, adotaram um filho, Alfred. Pouco mais se sabe sobre a vida familiar de Frege, no entanto.^[9]

Casa de Frege em Forstweg 29 em Jena, compartilhada com seu vizinho Rudolf Hirzel

Trabalho como lógico

Ver artigo principal: Begriffsschrift

Embora sua educação e trabalho matemático inicial tenham se concentrado principalmente em geometria, o trabalho de Frege logo se voltou para a lógica. Sua Citação: marcou um ponto de virada na história da lógica. O Begriffsschrift abriu novos caminhos, incluindo um tratamento rigoroso das ideias de funções e variáveis. O objetivo de Frege era mostrar que a matemática cresce a partir da lógica e, ao fazê-lo, ele desenvolveu técnicas que o separaram da silogística aristotélica, mas o aproximaram da lógica proposicional estoica.^[10]

Página de rosto do Begriffsschrift (1879)

De fato, Frege inventou a lógica de predicados axiomática, em grande parte graça à sua invenção de variáveis quantificadas, que eventualmente se tornaram onipresentes na matemática e lógica, e que resolveram o problema da generalidade múltipla. A lógica anterior lidava com as constantes lógicas e, ou, se... então..., não e alguns e todos, mas iterações dessas operações, especialmente "alguns" e "todos", eram pouco compreendidas: mesmo a distinção entre uma frase como "todo menino ama alguma menina" e "alguma menina é amada por todo menino" só poderia ser representada de forma muito artificial, enquanto o formalismo de Frege não tinha dificuldade em expressar as diferentes leituras de "todo menino ama alguma menina que ama algum menino que ama alguma menina" e frases semelhantes, em paralelo completo com seu tratamento de, digamos, "todo menino é tolo".^[6]

Um exemplo frequentemente observado é que a lógica de Aristóteles é incapaz de representar declarações matemáticas como o teorema de Euclides, uma declaração fundamental da teoria dos números de que há um número infinito de números primos. A "notação conceitual" de Frege, no entanto, pode representar tais inferências. A análise de conceitos lógicos e a maquinaria de formalização que é essencial para Principia Mathematica (3 vols., 1910–1913, por Bertrand Russell, 1872–1970, e Alfred North Whitehead, 1861–1947), para a teoria das descrições de Russell, para os teoremas da incompletude de Kurt Gödel (1906–1978) e para a teoria da verdade de Alfred Tarski (1901–1983), deve-se em última análise a Frege.^[11]

Um dos propósitos declarados de Frege era isolar princípios de inferência genuinamente lógicos, de modo que na representação adequada da prova matemática, não se apelasse em momento algum para "intuição". Se houvesse um elemento intuitivo, ele deveria ser isolado e representado separadamente como um axioma: a partir daí, a prova deveria ser puramente lógica e sem lacunas. Tendo exibido essa possibilidade, o propósito maior de Frege era defender a visão de que a aritmética é um ramo da lógica, uma visão conhecida como logicismo: ao contrário da geometria, a aritmética deveria ser mostrada como não tendo base na "intuição" e não necessitando de axiomas não lógicos. Já no Begriffsschrift de 1879, teoremas preliminares importantes, por exemplo, uma forma generalizada da lei da tricotomia, foram derivados dentro do que Frege entendia ser lógica pura.^[6]

Essa ideia foi formulada em termos não simbólicos em seu The Foundations of Arithmetic (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884). Mais tarde, em seu Basic Laws of Arithmetic (Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; vol. 2 foi publicado às suas próprias custas), Frege tentou derivar, usando seu simbolismo, todas as leis da aritmética a partir de axiomas que ele afirmou como lógicos. A maioria desses axiomas foi transportada de seu Begriffsschrift, embora não sem algumas mudanças significativas. O único princípio verdadeiramente novo foi um que ele chamou de Lei Básica V: a "faixa de valores" da função f(x) é a mesma que a "faixa de valores" da função g(x) se e somente se ∀x[f(x) = g(x)].^[6]

O caso crucial da lei pode ser formulado em notação moderna da seguinte forma. Seja {x|Fx} denotar a extensão do predicado Fx, isto é, o conjunto de todos os Fs, e similarmente para Gx. Então a Lei Básica V diz que os predicados Fx e Gx têm a mesma extensão se e somente se ∀x[Fx ↔ Gx]. O conjunto de Fs é o mesmo que o conjunto de Gs apenas no caso de todo F ser um G e todo G ser um F. (O caso é especial porque o que está sendo chamado de extensão de um predicado, ou um conjunto, é apenas um tipo de "faixa de valores" de uma função.)^[6]

Em um famoso episódio, Bertrand Russell escreveu para Frege, logo quando o Vol. 2 do Grundgesetze estava prestes a ir para impressão em 1903, mostrando que o paradoxo de Russell poderia ser derivado da Lei Básica V de Frege. É fácil definir a relação de pertinência de um conjunto ou extensão no sistema de Frege; Russell então chamou a atenção para "o conjunto de coisas x que são tais que x não é um membro de x". O sistema do Grundgesetze implica que o conjunto assim caracterizado ambos é e não é um membro de si mesmo, e é, portanto, inconsistente. Frege escreveu um apressado Apêndice de última hora para o Vol. 2, derivando a contradição e propondo eliminá-la modificando a Lei Básica V. Frege abriu o Apêndice com o comentário excepcionalmente honesto: "Dificilmente algo mais infeliz pode acontecer a um escritor científico do que ter um dos fundamentos de seu edifício abalado após o trabalho estar terminado. Esta foi a posição em que fui colocado por uma carta do Sr. Bertrand Russell, justamente quando a impressão deste volume estava chegando ao seu completion." (Esta carta e a resposta de Frege são traduzidas em Jean van Heijenoort 1967.)^[6]

O remédio proposto por Frege foi subsequentemente mostrado implicar que há apenas um objeto no universo de discurso e, portanto, é inútil (de fato, isso criaria uma contradição no sistema de Frege se ele tivesse axiomatizado a ideia, fundamental para sua discussão, de que o Verdadeiro e o Falso são objetos distintos; veja, por exemplo, Dummett 1973), mas trabalhos recentes mostraram que grande parte do programa do Grundgesetze poderia ser salvo de outras maneiras:^[6]

• A Lei Básica V pode ser enfraquecida de outras maneiras. A maneira mais conhecida é devida ao filósofo e lógico matemático George Boolos (1940–1996), que era especialista no trabalho de Frege. Um "conceito" F é "pequeno" se os objetos sob F não puderem ser colocados em correspondência um-para-um com o universo de discurso, isto é, a menos que: ∃R[R é 1-para-1 & ∀x∃y(xRy & Fy)]. Agora enfraqueça V para V*: um "conceito" F e um "conceito" G têm a mesma "extensão" se e somente se nem F nem G é pequeno ou ∀x(Fx ↔ Gx). V* é consistente se a aritmética de segunda ordem for, e suffice para provar os axiomas da aritmética de segunda ordem.
• A Lei Básica V pode simplesmente ser substituída pelo princípio de Hume, que diz que o número de Fs é o mesmo que o número de Gs se e somente se os Fs puderem ser colocados em uma correspondência um-para-um com os Gs. Este princípio também é consistente se a aritmética de segunda ordem for, e suffice para provar os axiomas da aritmética de segunda ordem. Este resultado é denominado teorema de Frege porque foi notado que, no desenvolvimento da aritmética, o uso da Lei Básica V por Frege é restrito a uma prova do princípio de Hume; é a partir disso, por sua vez, que os princípios aritméticos são derivados. Sobre o princípio de Hume e o teorema de Frege, veja "Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic".^[12]
• A lógica de Frege, agora conhecida como lógica de segunda ordem, pode ser enfraquecida para a chamada lógica de segunda ordem predicativa. A lógica de segunda ordem predicativa mais a Lei Básica V é comprovadamente consistente por métodos finitísticos ou construtivos, mas pode interpretar apenas fragmentos muito fracos da aritmética.^[13]

O trabalho de Frege em lógica teve pouca atenção internacional até 1903, quando Russell escreveu um apêndice para The Principles of Mathematics afirmando suas diferenças com Frege. A notação diagramática que Frege usou não tinha antecedentes (e não teve imitadores desde então). Além disso, até que Principia Mathematica (3 vols.) de Russell e Whitehead aparecesse em 1910–1913, a abordagem dominante para a lógica matemática ainda era a de George Boole (1815–1864) e seus descendentes intelectuais, especialmente Ernst Schröder (1841–1902). As ideias lógicas de Frege, no entanto, se espalharam através dos escritos de seu aluno Rudolf Carnap (1891–1970) e outros admiradores, particularmente Bertrand Russell^[14]:2 e Ludwig Wittgenstein (1889–1951).^[15]:357

Filósofo

Frege, c. 1905

Frege é um dos fundadores da filosofia analítica, cujo trabalho sobre lógica e linguagem deu origem à virada linguística na filosofia. Suas contribuições para a filosofia da linguagem incluem:^[6]

• Análise de função e argumento da proposição;
• Distinção entre conceito e objeto (Begriff und Gegenstand);
• Princípio da composicionalidade;
• Princípio do contexto; e
• Distinção entre o sentido e referência (Sinn und Bedeutung) de nomes e outras expressões, às vezes dito envolver uma teoria da referência mediada.

Como filósofo da matemática, Frege atacou a apelação psicologística a explicações mentais do conteúdo do julgamento do significado das sentenças. Seu propósito original estava muito longe de responder a questões gerais sobre significado; em vez disso, ele concebeu sua lógica para explorar os fundamentos da aritmética, undertaking para responder a questões como "O que é um número?" ou "A que objetos se referem as palavras-número ('um', 'dois', etc.)?" Mas ao perseguir essas questões, ele eventualmente se encontrou analisando e explicando o que é significado e, assim, chegou a várias conclusões que se mostraram altamente consequentes para o curso subsequente da filosofia analítica e da filosofia da linguagem.^[6]

Sentido e referência

Ver artigo principal: Sentido e referência

O artigo de Frege de 1892, "On Sense and Reference" ("Über Sinn und Bedeutung"), introduziu sua influente distinção entre sentido ("Sinn") e referência ("Bedeutung", que também foi traduzida como "significado" ou "denotação"). Enquanto os relatos convencionais de significado tomavam as expressões como tendo apenas uma característica (referência), Frege introduziu a visão de que as expressões têm dois aspectos diferentes de significância: seu sentido e sua referência.^[6]

Referência (ou "Bedeutung") aplicava-se a nomes próprios, onde uma dada expressão (digamos a expressão "Tom") simplesmente se refere à entidade que possui o nome (a pessoa chamada Tom). Frege também sustentava que as proposições tinham uma relação referencial com seu valor de verdade (em outras palavras, uma declaração "se refere" ao valor de verdade que assume). Por outro lado, o sentido (ou "Sinn") associado a uma sentença completa é o pensamento que ela expressa. Diz-se que o sentido de uma expressão é o "modo de apresentação" do item referido, e pode haver múltiplos modos de representação para o mesmo referente.^[6]

A distinção pode ser ilustrada assim: Em seus usos ordinários, o nome "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor", que para fins lógicos é um todo não analisável, e a expressão funcional "o Rei do Reino Unido", que contém as partes significativas "o Rei de ξ" e "Reino Unido", têm o mesmo referente, a saber, a pessoa mais conhecida como Rei Charles III. Mas o sentido da palavra "Reino Unido" é uma parte do sentido da última expressão, mas nenhuma parte do sentido do "nome completo" do Rei Charles.^[6]

Essas distinções foram disputadas por Bertrand Russell, especialmente em seu artigo "On Denoting"; a controvérsia continuou até o presente, alimentada especialmente pelas famosas palestras de Saul Kripke "Naming and Necessity".^[6]

Visões políticas e antissemitismo

Em 1954, Dummett estudou as transcrições do Nachlass de Frege que sobreviveram à Segunda Guerra Mundial, incluindo fragmentos de um diário de 1924.^[16][17] Dummett, um ativista anti-racismo, bem como um estudioso de Frege, mais tarde contou como ficou profundamente chocado ao descobrir disso que o homem que ele "reverenciara" como "um homem absolutamente racional" era, no final de sua vida, um 'virulent anti-semita' de "opiniões de extrema direita".^[18][19]

Os fragmentos do diário foram finalmente publicados em 1994.^[20] com uma tradução para o inglês seguindo em 1996.^[21] Escrito no último ano de sua vida, aos 76 anos, contém oposição ao sistema parlamentar, sufrágio universal, democratas, socialismo e liberais, e hostilidade contra católicos e franceses, bem como contra os judeus.^[22] Frege pensava que os judeus deveriam pelo menos ser privados de certos direitos políticos.^[23] E, embora tivesse mantido relações amigáveis com judeus na vida real (entre seus alunos estava Gershom Scholem que muito valorizava seu ensino), Frege escreveu que seria melhor se os judeus "se perdessem, ou melhor, gostariam de desaparecer da Alemanha."^[24]

Frege confessou "que ele uma vez se considerou um liberal e era um admirador de Bismarck", mas depois simpatizou com o General Ludendorff. Em uma entrada datada de 5 de maio de 1924, Frege expressou alguma concordância com um artigo publicado no Deutschlands Erneuerung de Houston Stewart Chamberlain que elogiava Adolf Hitler.^[24] Algumas interpretações foram escritas sobre aquela época.^[25]

Personalidade

Frege foi descrito por seus alunos como uma pessoa altamente introvertida, raramente entrando em diálogos com outros e mostly de costas para a lousa durante as palestras. No entanto, era conhecido por ocasionalmente mostrar wit e até mesmo sarcasmo amargo durante suas aulas.^[26]

Datas importantes

• Nascido em 8 de novembro de 1848 em Wismar, Mecklemburgo-Schwerin.
• 1869 — frequenta a Universidade de Jena.
• 1871 — frequenta a Universidade de Göttingen.
• 1873 — PhD, doutor em matemática (geometria), obtido em Göttingen.^[a]
• 1874 — Habilitação em Jena;^[b] professor privado.
• 1879 — Ausserordentlicher Professor em Jena.
• 1896 — Ordentlicher Honorarprofessor em Jena.
• 1918 — aposenta-se.^[27]
• Morreu em 26 de julho de 1925 em Bad Kleinen (agora parte de Mecklemburgo-Pomerânia Ocidental).

Obras importantes

Lógica, fundamentos da aritmética

Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879), Halle an der Saale: Verlag von Louis Nebert (online version).

• Em inglês: Begriffsschrift, a Formula Language, Modeled Upon That of Arithmetic, for Pure Thought, em: J. van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard, MA: Harvard University Press, 1967, pp. 5–82.
• Em inglês (seções selecionadas revisadas em notação formal moderna): R. L. Mendelsohn, The Philosophy of Gottlob Frege, Cambridge: Cambridge University Press, 2005: "Appendix A. Begriffsschrift in Modern Notation: (1) to (51)" and "Appendix B. Begriffsschrift in Modern Notation: (52) to (68)."^[c]

Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884), Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner (online version).

• Em inglês: The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number, traduzido por J. L. Austin, Oxford: Basil Blackwell, 1950.

Grundgesetze der Arithmetik, Band I (1893); Band II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle (online version).

• Em inglês (tradução de seções selecionadas), "Translation of Part of Frege's Grundgesetze der Arithmetik," traduzido e editado Peter Geach e Max Black em Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, New York, NY: Philosophical Library, 1952, pp. 137–158.
• Em alemão (revisado em notação formal moderna): Grundgesetze der Arithmetik, Korpora (portal da Universidade de Duisburg-Essen), 2006: Band I Arquivado em 21 outubro 2016 no Wayback Machine e Band II Arquivado em 29 agosto 2017 no Wayback Machine.
• Em alemão (revisado em notação formal moderna): Grundgesetze der Arithmetik – Begriffsschriftlich abgeleitet. Band I und II: In moderne Formelnotation transkribiert und mit einem ausführlichen Sachregister versehen, editado por T. Müller, B. Schröder, e R. Stuhlmann-Laeisz, Paderborn: mentis, 2009.
• Em inglês: Basic Laws of Arithmetic, traduzido e editado com uma introdução por Philip A. Ebert e Marcus Rossberg. Oxford: Oxford University Press, 2013. ISBN 978-0-19-928174-9.

Estudos filosóficos

"Function and Concept" (1891)

• Original: "Funktion und Begriff", uma palestra para a Jenaische Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jena, 9 de janeiro de 1891.
• Em inglês: "Function and Concept".

"On Sense and Reference" (1892)

• Original: "Über Sinn und Bedeutung", em Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik C (1892): 25–50.
• Em inglês: "On Sense and Reference", alternativamente traduzido (em edição posterior) como "On Sense and Meaning".

"Concept and Object" (1892)

• Original: "Ueber Begriff und Gegenstand", em Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie XVI (1892): 192–205.
• Em inglês: "Concept and Object".

"What is a Function?" (1904)

• Original: "Was ist eine Funktion?", em Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20 February 1904, S. Meyer (ed.), Leipzig, 1904, pp. 656–666.^[28]
• Em inglês: "What is a Function?".

Logical Investigations (1918–1923). Frege pretendia que os três artigos seguintes fossem publicados juntos em um livro intitulado Logische Untersuchungen (Logical Investigations). Embora o livro alemão nunca tenha aparecido, os artigos foram publicados juntos em Logische Untersuchungen, ed. G. Patzig, Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, e as traduções para o inglês apareceram juntas em Logical Investigations, ed. Peter Geach, Blackwell, 1975.

• 1918–19. "Der Gedanke: Eine logische Untersuchung" ("The Thought: A Logical Inquiry"), em Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I:^[d] 58–77.
• 1918–19. "Die Verneinung" ("Negation") em Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I: 143–157.
• 1923. "Gedankengefüge" ("Compound Thought"), em Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus III: 36–51.

Artigos sobre geometria

• 1903: "Über die Grundlagen der Geometrie". II. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung XII (1903), 368–375.
  • Em inglês: "On the Foundations of Geometry".
• 1967: Kleine Schriften. (I. Angelelli, ed.). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1967 e Hildesheim, G. Olms, 1967. "Small Writings," uma coleção da maioria de seus escritos (por exemplo, o anterior), publicado postumamente.

Ver também

• Sistema de Frege
• Lista de pioneiros em ciência da computação
• Neo-Fregeanism

Notas

1. Título da tese: Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene (Sobre uma Representação Geométrica de Formas Imaginárias em um Plano).
2. Título da tese: Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffes gründen (Métodos de Cálculo baseados em uma Extensão do Conceito de Magnitude).
3. Apenas as provas da Parte II do Begriffsschrift são reescritas em notação moderna nesta obra. A reescrita parcial das provas da Parte III está incluída em Boolos, George, "Reading the Begriffsschrift," Mind 94(375): 331–344 (1985).
4. O periódico Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus era o órgão da de.