Função Schwinger

Na teoria quântica de campos, as distribuições de Wightman podem ser analiticamente continua a funções analíticas em espaço euclidiano com o domínio restrito ao conjunto ordenado de pontos no espaço euclidiano sem pontos coincidentes. Essas funções são chamadas as funções Schwinger, em homenagem a Julian Schwinger. São funções analíticas, simétricas sob a permutação de argumentos^[1] (antisimétrico para campos fermiônicos^[2][3]) euclidianos covariante e satisfazem uma propriedade conhecida como positividade de reflexão.

Escolha qualquer coordenada arbitrária τ e escolha uma função de teste f_N em um conjunto com N pontos como seus argumentos. Suponha que f_N tem o seu apoio no subconjunto de tempo-ordenado de N pontos com 0 < τ₁ < ... < τ_N. Selecione uma f_N tal que para cada N positivo, com os f sendo zero para todos os N maiores do que algum número inteiro M. Dado um ponto x, seja o ponto refletido acerca do hiperplano τ = 0. Então,

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}({\bar {x}}_{1},\dots ,{\bar {x}}_{m})^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

onde * representa a conjugação complexa.^[4]

O teorema de Osterwalder-Schrader afirma que as funções Schwinger que satisfazem essas propriedades podem ser analiticamente continuas dentro de uma teoria quântica de campos.^[5] A integração de funcionais euclidianas satisfaz formalmente a reflexão de positividade^[6][7]. Escolha qualquer polinômio funcional F do campo φ, que não depende do valor de φ(x) para os pontos x cujas coordenadas τ são não positivas. Então,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi ({\bar {x}})]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[{\bar {\phi }}_{-}]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

Uma vez que a ação S é real e pode ser dividida em S₊, que só depende de φ no semi-espaço positivo^[8] e S₋ que só depende de φ no semi-espaço negativo^[9] e se S também acontece ser invariante sob a ação combinada de tomada de uma reflexão e conjugando complexo todos os campos; então, a quantidade precedente tem de ser não negativa.^[10].

Referências

1. Frege's permutation argument. por A. W. Moore e Andrew Rein - Notre Dame J. Formal Logic Volume 28, No. 1 (1987), 51-54. []
2. Pions to Quarks: Particle Physics in the 1950s editado por Laurie Mark Brown,Max Dresden,Lillian Hoddeson - []
3. Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Supersymmetry Part I: Lattice Field Theories por Edwards, David A. [] - []
4. A Quantum Legacy: Seminal Papers of Julian Schwinger por Kimball A. Milton - 2000 []
5. Osterwalder-Schrader theorem por Glimm, James; Jaffe, Arthur []
6. Reflection Positivity and Conformal Symmetry por Karl-Hermann Neeb e Gestur Olafsson - (10 de Junho 2012) []
7. REFLECTION POSITIVITY AND MONOTONICITY por ARTHUR JAFFE e GORDON RITTER (2007 - []
8. THE HALF-SPACE PROPERTY AND ENTIRE POSITIVE MINIMAL GRAPHS IN M × R. por HAROLD ROSENBERG, FELIX SCHULZE, e JOEL SPRUCK 2011 - []
9. Planes and Half-Spaces por Max Wagner 2004 - []
10. Gauge Field Theories Second edition por Stefan Pokorsk 2000 - []

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