Função erro

Em matemática, a função erro (também chamada de função erro de Gauss) é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem a difusão. Ela é definida por:^[1][2][3] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Gráfico da função erro

Em estatística, para valores não negativos de x, a função erro tem a seguinte interpretação: para uma variável aleatória Y que tem uma distribuição normal com média 0 e variância 1/2, erf(x) descreve a probabilidade de Y estar no intervalo [−x, x].

Relação com a distribuição normal padrão

Seja Φ a função distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Então: $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$$ Analogamente:^[4] $${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)=2\Phi (x{\sqrt {2}})-1}$$

Funções correlatas

São funções relacionadas com a função erro erf(x):

• A função erro complementar erfc: erfc(x) = 1 - erf(x);
• A função erro imaginário erfi: erfi(x) = −i ·erf(i·x);
• A função erro complexa erf(z);
• A função erro complexa complementar erfc(z) = 1-erf(z).

Referências

1. Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
2. Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
3. Error function, documentação da linguagem de programação R
4. The Normal Distribution, documentação da linguagem de programação R

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