Função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau), desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, é uma função singular e descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo.^[1] Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterais da função (pela esquerda e pela direita) na abscissa em que está definida a descontinuidade. A função degrau padrão tem a descontinuidade em x = 0. Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se defini-la por:

${\displaystyle U(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

Gráfico da função de Heaviside

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

${\displaystyle U(x-a)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {1}{2}},&x=a\\1,&x>a\end{cases}}\;\;\;\;\;}$

A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;\arctan \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right]}$

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0^{-}}\;{\frac {1}{2}}\;{\text{erfc}}\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}$

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;{\text{Si}}\left({\frac {\pi x}{\epsilon }}\right)\right]}$

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{rect}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\right)du}$

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{tri}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\;-\;{\frac {1}{2}}\right)du}$

${\displaystyle U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0+}\left[1\;-\;e^{-\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}\right]}$

Nas definições apresentadas, erfc é a função erro complementar definida por erfc(x) = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.^[2]

Relação com outras funções

Função sinal

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Pode-se escrever também:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=2U(x)-1}$

Delta de Dirac

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser interpretada informalmente como a derivada da função degrau de Heaviside. Ao se efetuar a diferença entre duas funções degrau com saltos em pontos distintos, isto é, calcular ${\textstyle U(x-(a-\epsilon /2))-U(x-(a+\epsilon /2))}$ (com ε positivo), e fazer o valor de ε tender a zero, tem-se que a variação média

entre os pontos ${\textstyle a-\epsilon /2}$ e ${\textstyle a+\epsilon /2}$ tende a infinito, obtendo a função Delta de Dirac. Isto é,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta U}{\Delta x}}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {U(x-(a-\epsilon /2))-U(x-(a+\epsilon /2))}{\epsilon }}=\delta (x-a).}$

Mais formalmente, pode-se escrever da seguinte maneira:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\;{\frac {d}{dx}}\;U(\epsilon ,x)}$

com U(ε, x) dada por alguma das aproximações contínuas que são diferenciáveis em x = 0.^[3]

Também costuma-se escrever simplesmente:

${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}\;U(x).}$

Decorre, do exposto, que o degrau de Heaviside é a integral do delta de Dirac, isto é:

${\displaystyle U(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (u)\;du.}$

Função retangular

A função retangular pode ser escrita como:

${\displaystyle {\text{rect}}(x)\;=\;U\left(x\;+\;{\frac {1}{2}}\right)\;-\;U\left(x\;-\;{\frac {1}{2}}\right)}$

Função pulso

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

Função pulso: pode ser representada pela subtração de funções de Heaviside, em que para valores entre a e b, onde a < b, a função resultante tem valor unitário, e para valores menores que a e maiores que b a função é nula.

${\displaystyle p(x)={\begin{cases}0,&x<a\\1,&a\leqslant x\leqslant b\\0,&x>b\end{cases}}\;\;\;\;\;}$

Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:

${\displaystyle p(x)=U(x-a)-U(x-b),a<b}$

Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, é utilizada quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:^[4]

${\displaystyle U\epsilon (t)={\begin{cases}0,&t<0\\{\frac {t}{\epsilon }},&0\leq t\leq {\epsilon }\\1,&t>a\end{cases}}\;\;\;\;\;}$

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

${\displaystyle U(t)=\lim _{\epsilon \to 0+}\;U_{\epsilon }(t)}$

Ou seja, quanto menor o valor de ${\displaystyle {\epsilon }}$, mais íngreme é a rampa resultante e, quando o mesmo tende a zero, a derivada da função tende a infinito naquele ponto, resultando no Delta de Dirac.

Transformada de Laplace da função de Heaviside

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida diretamente da definição. Considerando a > 0:

${\displaystyle {\mathcal {L}}({U}(t-a))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-a)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{a}\mathrm {e} ^{-st}\cdot 0\;\mathrm {d} t\ +\int _{a}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}\cdot 1\,\mathrm {d} t={\frac {e^{-as}}{s}}.}$

Para o caso particular em que a = 0:

${\displaystyle {\mathcal {L}}({U}(t-0))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-0)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}\cdot 1\,dt\ ={\frac {1}{s}}.}$

Visto que a função de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, ela possui a mesma transformada de Laplace unilateral que o inteiro 1.

Aproximações analíticas^[5]

Para uma aproximação suave da função degrau, pode-se usar a função logística:

${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}}$

onde ${\displaystyle k}$ muito alto corresponde a uma transição mais abrupta em ${\displaystyle x=0}$. Tomando ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$, a igualdade se mantém no limite:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}}$

Há outras aproximações analíticas suaves para a função degrau. Algumas possibilidades são:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$

Esses limites se mantêm pontuais e no sentido de distribuições. Em geral, no entanto, a convergência pontual não precisa implicar em convergência distributiva, e vice-versa, convergência distributiva não precisa implicar em convergência pontual. (Entretanto, se todos os membros de uma sequência convergente de funções pontuais estiverem uniformemente limitados por alguma função "legítima", a convergência também se mantém no sentido de distribuições.

Forma analítica

Embora as aproximações analíticas da função degrau unitária sejam conhecidas e utilizadas há muito tempo, apenas recentemente foi encontrada uma expressão analítica exata:

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {3\pi }{4}}+\arctan \left(x-1\right)+\arctan \left({\frac {2-x}{x}}\right)\right]}$.

No entanto, esta função é mal definida na origem, pois H(0) diverge.

Aplicações função de Heaviside

• Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a função de Heaviside, entre outras funções singulares;
• Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.
• Na engenharia elétrica usa-se largamente a função degrau para ajudar a representar sinais causais que iniciam a partir do tempo t = 0.

Circuito RC em série, no qual ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ é a tensão da fonte de alimentação

• Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q(0) = 0) , capacitância e resistência dadas por C e R, respectivamente, e com a fonte de tensão ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema. Assim, a tensão aplicada ao circuito é a função v(t) dada por:

1. ${\displaystyle v(t)={\mathcal {E}}[u(t-a)-u(t-b)]}$ e
2. ${\displaystyle v(t)=R\cdot i(t)+{\frac {1}{C}}\left[q_{0}+\int \limits _{0}^{\infty }i(\tau )d\tau \right]}$

• Aplicando-se transformada de Laplace

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{v(t)\}=R\cdot {\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\frac {1}{C}}{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \right\}}$
2. ${\displaystyle RI(s)+{\frac {1}{C}}{\frac {I(s)}{s}}={\mathcal {E}}\left({\frac {e^{-as}}{s}}-{\frac {e^{-bs}}{s}}\right)}$
3. ${\displaystyle I(s)={\frac {C{\mathcal {E}}}{RCs+1}}\left(e^{-as}-e^{-bs}\right)={\frac {\mathcal {E}}{R}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}\left(e^{-as}-e^{-bs}\right)}$
   

• Aplicando-se a transformada inversa de Laplace

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{I(s)\}={\frac {\mathcal {E}}{R}}\cdot {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}e^{-as}-{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}e^{-bs}\right\}}$

   

   Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b

2. ${\displaystyle i(t)={\frac {\mathcal {E}}{R}}\cdot \left[e^{-{\frac {t-a}{RC}}}u(t-a)-e^{-{\frac {t-b}{RC}}}u(t-b)\right]}$

Com isso se obtém a seguinte expressão para a corrente num circuito RC cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b, respectivamente:

${\displaystyle i(t)={\begin{cases}0,&t<a\\{\frac {\mathcal {E}}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}},&a\leq t<b\\{\frac {\mathcal {E}}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}}[e^{\frac {a}{RC}}-e^{\frac {b}{RC}}],&t\geq b\end{cases}}\;\;\;\;\;}$

Referências

1. SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene. (15 de maio de 2019). «A função de Heaviside». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de dezembro de 2019 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
2. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
3. Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104
4. SOUZA, Fellipe (6 de novembro de 2017). «Função Rampa e Delta de Dirac» (PDF). Universidade Federal do Recôncavo da Bahia. Consultado em 20 de dezembro de 2019
5. Venetis (2014). «An Analytic Exact Form of the Unit Step Function» (PDF). Consultado em 26 de maio de 2019