Hipótese do continuum

A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:

Não existe nenhum conjunto com cardinalidade maior que a do conjunto dos números inteiros e menor que a do conjunto dos números reais.

Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

Nem verdadeira nem falsa

Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:

• em 1938^[1], Kurt Gödel demonstrou que a negação da hipótese do continuum não poderia ser provada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel mais escolha, se eles são consistentes.
• em 1963, Paul Cohen demonstrou que a hipótese do continuum também não poderia ser provada a partir dos mesmos axiomas, se eles são consistentes.

Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Contínuo^[2].

Hipótese do Continuum generalizada

Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é ${\displaystyle \aleph _{0}}$, o cardinal seguinte é ${\displaystyle \aleph _{1}}$, etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como:

${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$

A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$

Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}\,}$ usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definição, um número cardinal, mas a recíproca não é verdadeira.

Cardinalidade do contínuo

Ver artigo principal: Cardinalidade do contínuo

Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra:

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }\,}$

O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade ${\displaystyle \omega ^{\,}}$:

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega +\omega }\,}$

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega _{\omega }}\,}$

Seja ${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(T\right)}$ o enunciado "${\displaystyle T^{\,}}$ é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}\right)}$

Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}\right)}$

para qualquer ${\displaystyle n\geq 2}$. De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável.^[3] Por exemplo:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega +42}\right)}$

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega _{1}}\right)}$

Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então vale^[4]:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC+WI} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +{\mbox{``}}2^{\aleph _{0}}\;\;{\mbox{é fracamente inacessível''}}\right)}$