Imagem recíproca

Em matemática, a imagem recíproca, ou contra-imagem, ou pré-imagem ou imagem inversa de um subconjunto ${\displaystyle B}$ do contradomínio de uma função ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ é o conjunto ${\displaystyle f^{-1}(B)=\left\{x\in X:f(x)\in B\right\}}$.

O uso da notação ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ não significa que ${\displaystyle f}$ seja uma função invertível, mas se o for, ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ é de facto, a imagem de ${\displaystyle B}$ pela função inversa ${\displaystyle f^{-1}}$.

Propriedades

• ${\displaystyle f^{-1}(\varnothing )=\varnothing }$
• Para toda função ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, ${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$. A prova é simples: qualquer elemento ${\displaystyle x\in X}$ é levado por f para algum elemento de Y, logo ${\displaystyle x\in f^{-1}(Y)}$.
• ${\displaystyle f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)}$.
• ${\displaystyle f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)}$.
• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B)}$

De fato,

${\displaystyle x\in f^{-1}(A)\Longrightarrow f(x)\in A.}$ Como ${\displaystyle A\subseteq B,f(x)\in B\Longrightarrow x\in f^{-1}(B)}$

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e