Imersão (matemática)

Em matemática, uma imersão é uma função diferenciável entre variedades diferenciáveis cuja derivada é injetiva em todos os pontos.^[1]

A garrafa de Klein, imersa no espaço tridimensional

Explicitamente,${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ é uma imersão se

${\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

é uma aplicação injetiva em todo ponto ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle M}$ (onde a notação ${\displaystyle T_{p}X}$ representa o espaço tangente de ${\displaystyle X}$ no ponto ${\displaystyle p}$). Equivalentemente, ${\displaystyle f}$ é uma imersão se ela possui posto constante igual à dimensão de ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \operatorname {rank} \,f=\dim M.}$^[1][2]

Não é preciso que a função f propriamente dita seja injetiva, somente sua derivada.^[1]

Ver também

• Submersão
• Subvariedade imersa
• Imersão isométrica

Referências

1. Lima, E. L. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: Monografias de Matemáticas - IMPA. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: Monografias de Matemáticas - IMPA, 1973.
2. SPIVAK, Michael. Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. CRC press, 2018.