Operador fechado

Em matemática, especialmente na análise funcional, os operadores lineares fechados formam uma importante classe de operadores lineares em espaços de Banach. Todo operador linear limitado é fechado e muitos operadores lineares não-limitados de importância na matemática aplicada são fechados. A classe dos operadores fechados são suficientemente bem comportados a ponto de se poder desenvolver um teorema espectral para eles.

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço de Banach. Um operador linear A

${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset X\to X}$

é dito fechado se para cada seqüência ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ em ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ que converge para um ponto ${\displaystyle x\in X\,}$ tal que ${\displaystyle Ax_{n}\to y\in X}$ tem-se que:

${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ e

${\displaystyle Ax=y.}$

Equivalentemente, ${\displaystyle A\,}$ é fechado se e somente se seu gráfico é fechado.

Exemplo

Considere ${\displaystyle X=C^{0}[a,b]\,}$ o espaço das funções contínuas no intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ e ${\displaystyle T\,}$ o operador derivada:

${\displaystyle Tf:={\frac {d}{dx}}f\,}$, definido no domínio

${\displaystyle D(T)=C^{1}[a,b]\,}$

Então se ${\displaystyle f_{n}(x)\to f\,}$ e ${\displaystyle Tf_{n}(x)\to g\,}$ ambos na norma do supremo ou, equivalentemente, uniformemente, então, não é difícil ver que:

${\displaystyle Tf_{n}\to Tf\,}$

Teorema

• O teorema do gráfico fechado afirma que um operador fechado definido em todo espaço é contínuo. Portanto, um operador fechado descontínuo, como o exemplo acima, não pode ser definido em todo o espaço.

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill