Primorial

Na matemática, o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por ${\displaystyle n\#}$ e é definido como o produto de todos os números primos menores ou iguais a n. O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.

Exemplos

• ${\displaystyle 1\#=1\,}$
• ${\displaystyle 2\#=2\,}$
• ${\displaystyle 3\#=2\cdot 3=6\,}$
• ${\displaystyle 4\#=2\cdot 3=6\,}$
• ${\displaystyle 5\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}$
• ${\displaystyle 6\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}$
• ${\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210\,}$

Tabela de primoriais

Eis uma tabela de primoriais. Veja também (sequência A002110 na OEIS).

p	P(p)
2	2
3	6
5	30
7	210
11	2310
13	30030
17	510510
19	9699690
23	223092870
29	6469693230
31	200560490130
37	7420738134810
41	304250263527210
43	13082761331670030
47	614889782588491410
53	32589158477190044730
59	1922760350154212639070
61	117288381359406970983270
67	7858321551080267055879090
71	557940830126698960967415390
73	40729680599249024150621323470
79	3217644767340672907899084554130
83	267064515689275851355624017992790
89	23768741896345550770650537601358310

Estimativa de crescimento para o primorial

Para todo ${\displaystyle n\geq 1\,}$, ${\displaystyle n\#<4^{n}\,}$ A demonstração se faz por indução matemática.

• Base:
  • ${\displaystyle 1\#=1<4^{1}\,}$
  • ${\displaystyle 2\#=2<4^{2}\,}$
• Indução
  • ${\displaystyle n>2\,}$, n é par:

${\displaystyle n\#=(n-1)\#<2^{n-1}<2^{n}\,}$

• • ${\displaystyle n>2\,}$, n é ímpar, então escreve-se ${\displaystyle n=2m+1\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4^{m}&={\frac {1}{2}}(1+1)^{2m+1}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2m+1}{\binom {2m+1}{k}}\\&>{\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\binom {2m+1}{m}}+{\binom {2m+1}{m+1}}{\Biggr )}={\binom {2m+1}{m}}.\end{aligned}}}$

Como cada número primo p, ${\displaystyle m+1<p\leq 2m+1\,}$ é divisor de ${\displaystyle {\binom {2m+1}{m+1}}\,}$, temos que:

${\displaystyle \prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p\leq {\binom {2m+1}{m}}<4^{m}.\ }$

Agora, podemos estimar:

${\displaystyle n\#=(2m+1)\#=(m+1)\#\prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p<4^{m+1}4^{m}=4^{2m+1}=4^{n}.\ }$

E o resultado segue.

Ver também

• Fatorial