Relação simétrica

Uma relação simétrica é um tipo de relação binária.^[1][2] Um exemplo é a relação "é igual a", porque se ${\displaystyle a=b}$ é verdadeiro, então ${\displaystyle b=a}$ também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária ${\displaystyle R}$ sobre um conjunto ${\displaystyle X}$ é simétrica se e somente se:

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa).}$^[3]

Se ${\displaystyle R^{-1}}$ representa o inverso de ${\displaystyle R}$, então ${\displaystyle R}$ é simétrica se e somente se ${\displaystyle R=R^{-1}}$.^[3][4]

A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.^[4]

Representação

Seja ${\displaystyle R}$ uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle R}$ tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.

Notação	Relação simétrica	Relação assimétrica
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R}$
Como matriz de adjacência	Matriz ${\displaystyle M\,}$ cuja transposta ${\displaystyle M^{t}\,}$ é tal que ${\displaystyle M^{t}=M\,.}$	Matriz ${\displaystyle M\,}$ cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,}$ e também ${\displaystyle M+M^{t}\,}$ produz uma matriz simétrica.
Como grafo	É um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado.	É um grafo direcionado sem laços ou ciclos.

Exemplos

Na matemática

• "é igual a" (igualdade) (enquanto "é menor que" não é simétrico)
• "é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado.
• "... e ... são ímpares"

Fora da matemática

• "é casado com" (na maioria dos sistemas legais)
• "é um irmão totalmente biológico de"
• "é um homófono de"
• "é colega de trabalho de"
• "é companheiro de equipe de"

Relação com relações assimétricas e antissimétricas

Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se ${\displaystyle a}$ está relacionado a ${\displaystyle b}$, então ${\displaystyle b}$ não pode estar relacionado a ${\displaystyle a}$ (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").

Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que ${\displaystyle a}$ pode estar relacionado a ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle b}$ estar relacionado a ${\displaystyle a}$ é se ${\displaystyle a=b}$) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.

Exemplos matemáticos

	Simétrica	Não simétrica
Antissimétrica	igualdade	"é menor ou igual a"
Não antissimétrica	congruência na aritmética modular	"é divisível por", sobre o conjunto de inteiros

Exemplos não matemáticos

	Simétrica	Não simétrica
Antissimétrica	"é a mesma pessoa, e é casada"	"é o plural de"
Não antissimétrica	"é um irmão totalmente biológico de"	"presas em"

Assimétrica ${\displaystyle \neq }$ antissimétrica

A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.^[3][4]

Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").

Aspectos adicionais

Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.^[4]

Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.

Ver também

• Relação de equivalência
• Relação reflexiva
• Relação transitiva
• Relação antissimétrica
• Relação assimétrica

Referências

1. Villalpando Becerra, José Francisco. Matemáticas discretas : aplicaciones y ejercicios. México D.F.: [s.n.] ISBN 9786074389258. OCLC 908045703
2. Johnsonbaugh, Richard.; Sánchez Ruiz, Ariadne. (2005). Matemáticas discretas 6a. ed ed. Naucalpan de Juárez: Pearson Educacion. ISBN 9702606373. OCLC 758150986 !CS1 manut: Texto extra (link)
3. Velleman, Daniel J.,. How to prove it : a structured approach Second edition ed. Cambridge: [s.n.] ISBN 0521861241. OCLC 62084309 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526

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