Setor circular

Um setor circular (símbolo: ⌔) é a parte de um círculo (uma região fechada delimitada por uma circunferência) delimitada por dois raios e um arco, sendo a área menor conhecida como setor menor e a maior como setor maior.^[1] No diagrama, θ é o ângulo central, r o raio da circunferência e L é o comprimento do arco do setor menor.

O setor menor está sombreado em verde, enquanto o setor maior está sombreado em branco

O ângulo formado pela conexão dos pontos finais do arco a qualquer ponto da circunferência que não esteja no setor é igual à metade do ângulo central.^[2]

Cálculo da área em função do ângulo central

Seja θ o ângulo central, em radianos, e ${\displaystyle r}$ o raio. A área total de um círculo é ${\displaystyle \pi r^{2}}$. A área do sector pode ser obtida multiplicando-se a área total do círculo pela razão entre θ e ${\displaystyle 2\pi }$, já que a área do sector é diretamente proporcional ao ângulo:

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=r^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

Também, se θ refere-se ao ângulo central em graus, uma fórmula similar pode ser derivada:

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}$

Cálculo da área em função do comprimento do arco

O comprimento, ${\displaystyle L}$, do arco de um sector é dado pela seguinte fórmula:

${\displaystyle L=\left(\pi \cdot r\cdot {\frac {\theta }{180^{\circ }}}\right)}$

onde θ está em graus. Quando θ estiver em radianos, a fórmula anterior pode ser reescrita como

${\displaystyle L=\theta r}$

Dessa forma, substituindo o valor de L encontrado acima na fórmula para o cálculo da área, podemos obter a área do setor circular em função de tal comprimento, conforme a seguinte equação:

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {r\cdot L}{2}}}$

Ver também

• Segmento circular - região delimitada por uma corda e um arco de circunferência.
• Secção cónica

Referências

1. Dewan, Rajesh K. (2016). Saraswati Mathematics. New Delhi: New Saraswati House India Pvt Ltd. p. 234. ISBN 978-8173358371
2. Achatz, Thomas; Anderson, John G. (2005). Technical shop mathematics. Kathleen McKenzie 3rd ed. New York: Industrial Press. p. 376. ISBN 978-0831130862. OCLC 56559272