Trapézio (geometria)

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Na geometria o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Trapézio
Trápezio retângulo
Arestas e Vértices	4
Área	${\displaystyle A={\frac {(B+b)}{2}}\cdot h}$

Definição

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.^[1]

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é trapézio }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{ou}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)}$

Alguns autores^[2] definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.^[3]

Propriedades dos trapézios

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:^[1]

1. Em qualquer trapézio ${\displaystyle ABCD}$ de bases ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ e ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ temos que ${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}$.
2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades

1º Propriedade

Em qualquer trapézio ${\displaystyle ABCD}$ de bases ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ e ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ temos que ${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {CD}}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD}}}$ é transversal ${\displaystyle \Longrightarrow {\hat {A}}+{\hat {D}}=180^{\circ }}$

e

${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {CD}}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}}}$ é transversal ${\displaystyle \Longrightarrow {\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}$

Logo temos que

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle {\hat {D}}\equiv {\hat {C}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {B}}}$

2° Propriedade

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

${\displaystyle {\overline {AB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {CD}}\quad {\text{são bases do trapézio isósceles }}ABCD\qquad \Longrightarrow \qquad ({\hat {C}}\equiv {\hat {D}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {B}})}$

Tomando dois pontos ${\displaystyle A'}$ e ${\displaystyle B'}$, de modo que ambos estejam em ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ e que ${\displaystyle {\overline {AA'}}\perp {\overline {DC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BB'}}\perp {\overline {DC}}}$.

Como ${\displaystyle ABCD}$ é um trapézio nós sabemos que ${\displaystyle {\overline {AB}}//{\overline {CD}}}$, o que implica que ${\displaystyle {\overline {AA'}}\equiv {\overline {BB'}}}$, por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos ${\displaystyle AA'D}$ e ${\displaystyle BB'C}$, podemos ver que eles são congruentes:

${\displaystyle {\overline {AA'}}\equiv {\overline {BB'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}\quad (CH)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {AA'D}\equiv \triangle {BB'C}}}$

Como os triângulos são congruentes, temos que ${\displaystyle {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}$.

Por fim, visto que ${\displaystyle {\hat {A}}}$ e ${\displaystyle {\hat {B}}}$ são suplementares de ${\displaystyle {\hat {D}}}$ e ${\displaystyle {\hat {C}}}$, respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: ${\displaystyle {\hat {A}}\equiv {\hat {B}}}$.

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade

${\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}}$

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é um trapézio isósceles de base }}\quad {\overline {AB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {CD}},\quad {{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}}}$

Observe os triângulos ${\displaystyle ADC}$ e ${\displaystyle BCD}$, que são congruentes:

${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}\quad {\text{e}}\quad {{\hat {D}}\equiv {\hat {C}}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {DC}}={\overline {CD}}\quad (LAL)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ADC}\equiv \triangle {BCD}}$

Sabendo que os triângulos são congruentes temos: ${\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}}$

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área

Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por^[3]

${\displaystyle A={\frac {(B+b)}{2}}\cdot h,}$

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8).^[4] A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

${\displaystyle m={\frac {B+b}{2}}.}$

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

${\displaystyle A=mh.}$

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

${\displaystyle L={\sqrt {h^{2}+(B-b)^{2}}}.}$

Referências

1. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana. [S.l.]: Atual
2. «American School definition from "math.com"». Consultado em 14 de abril de 2008
3. Weisstein, Eric W. «Trapezoid». MathWorld (em inglês)
4. Aryabhatiya Arquivado em 2011-08-15 na Archive.today em marata: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9

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