From Wikipedia, the free encyclopedia
Rotația sau mișcarea de rotație[1] este mișcarea circulară a unui obiect în jurul unui centru (sau punct) de rotație sau axă de rotație, în cazul corpurilor tridimensionale. Cu alte cuvinte, traiectoria mișcării este descrisă de un punct rotitor în jurul unui centru de rotație plasat într-un sistem de referință inerțial, cu rază variabilă.
În cazul în care centrul (axa de rotație) nu trece prin centrul de masă al corpului, procesul se mai numește și mișcare de revoluție. Exemple: rotația Pământului în jurul propriei axe, mișcarea de revoluție a Pământului în jurul Soarelui.
Un caz particular al mișcării de rotație este mișcarea circulară având ca traiectorie a mișcării un cerc.
Un alt caz particular al mișcării de rotație este rotația unui corp sau sistem de puncte materiale în jurul unei axe de rotație.
În mecanică traiectoria poate fi traiectoria unui punct material, sau traiectoria unui corp ca sistem de puncte materiale.
În matematică, noțiunea de rotație are un caracter teoretic, general. Astfel, în spațiul bidimensional, un punct de coordonate în urma unei rotații de unghi în sens trigonometric (antiorar), ajunge în punctul de coordonate:
Se poate spune că o rotație este o funcție, ce asociază fiecărui vector un vector după legea:
unde matricea se numește matrice de rotație.
Formula anterioară mai poate fi scrisă și cu ajutorul numerelor complexe:
sau:
În fizică, mișcarea de rotație este carcterizată de mărimi legate de timp ca: perioadă, frecvență, viteză unghiulară, accelerație unghiulară.
Mișcare de translație | Mișcare de rotație |
---|---|
Vector de poziție: | Unghi de rotație resp. matrice de rotație: |
Viteză: | Viteză unghiulară: |
Accelerație: | Accelerație unghiulară: |
In fizică si mecanica teoretică si analitică, mișcarea de rotație este studiată într-un sistem de referință rotativ neinerțial.
In mod general, mișcarea de rotație este o mișcare olonomă, având constrângeri prin legături si reonomă, depinzând in mod explicit de timp. ([1] pag. 518)
Descriind mișcarea de rotație pe un cerc cu raza constantă r într-un sistem de referință inerțial:
Descriind mișcarea de rotație într-un sistem de referință inerțial cu un vector de poziție al punctului care descrie traiectoria mișcării:
Parametri cinematici ale mișcării, viteza radială, viteza tangențială la traiectoria mișcării, viteza unghiulară si accelerația unghiulară,
se obțin prin derivare vectorială matematică a Vectorului de poziție a punctului care descrie traiectoria mișcării.
Folosind regulile de derivare a Vectorilor pentru versori, cu:
Aceste ecuații sânt condițiile necesare si suficiente pentru ca mișcarea să fie determinată.
Necesare, pentru ca punctul material sau corpul să descrie traiectoria impusă.
Suficiente, pentru a deduce din ele univoc ecuația traiectoriei de mișcare, când sânt date in Problema Cauchy de integrare, condițiile inițiale.
Parametrii dinamici definiți in mecanică sânt:
Forțele și momentele în sistemul de referință rotativ se obțin corespunzătoare accelerațiilor conform legilor lui Newton, ca:
- în sistemul de referință rotativ:
- în sistemul de referință inerțial:
Parametrizarea vectorului forței centrifuge generează un câmp vectorial centrifug.
Se arată in matematică, când câmpul vectorial al forței provine dintr-un gradient al unui câmp scalar, rotorul câmpului vectorial este egal cu zero,
deoarece pentru orice câmpul vectorial:
În mod reciproc, datotită simetriei de rotație, rotorul câmpului vectorial al forței centrifuge este egal cu zero:
există atunci un câmp scalar, câmpul potențial scalar, a cărui gradient generează forța:
Câmpul vectorial centrifug posedă așadar un potențial scalar [2] :
Energia potențială se determină ca:
Energia cinetică a mișcării de rotație se determină ca:
Din această relație, energia cinetică este constantă când momentul cinetic si viteza unghiulară sunt constante și în mecanica corpului rigid când momentul de inerție este contant, putând concluziona aparent, că energia cinetică a mișcării de rotație nu se conservată în general.[3]cap. 19-7
Privind însă variația temporală a energiei cinetice in raport cu raza, la o viteză unghiulară constantă, cu :
se observă că mai există și un aport a variației energiei cinetice in dependență cu viteza radială , deși momemtul cinetic rămâne constant, adicä:
neexistând deci un moment de antrenare, deoarece produsul cartezian a doi vectori coliniar est egal cu zero:
Energia cinetică a mișcării de rotație se poate modifica si fără existența unui moment de antrenare, atunci când există o viteză radială diferită de zero, la o mișcare cu viteză unghiulară constantă. Această modificare a energiei cinetice de rotație la variația razei se datorează forței Coriolis, fiind deci responsabilă pentru acumularea uriașă a energiei cinetice de rotație in fenomene meteorologice cum ar fi uragane, unde variația razei datorită vitezei radiale este produsă de gradientul radial simetric a presiunii atmosferice crescând de la margine la centru, chiar atunci când momentul cinetic nu se modifică, neexistând un moment de antrenare. Modificarea energie cinetice de rotație la variația razei se produce in contextul conservării energie totale, crescând energia cinetică in detrimentul scăderii energie potențiale centrifuge, așa încât energia totală a sistemului este conservată, in deplină concordanță cu legile naturii.
Energia totală a mișcării de rotație este:
Energia totală este o mărime importantă in Ecuația Euler-Lagrange aplicată in metoda Formalismul Lagrange simplificând in multe cazuri speciale găsirea ecuațiilor traiectoriei de mișcare.
Ecuația Euler-Lagrange:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.