Număr Pell
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, numerele Pell sunt o succesiune infinită de numere întregi, cunoscute din cele mai vechi timpuri, care sunt egale cu numitorii care aproximează din ce în ce mai fidel rădăcina pătrată a lui 2. Acest șir de aproximări începe cu 1/1, 3/2, 7/5, 17/12 și 41/29, așadar șirul numerelor Pell începe cu 1, 2, 5, 12, și 29 .[1] Numărătorii aceluiași șir de aproximări înmulțiți cu 2 se numesc numere Pell–Lucas; aceste numere formează un al doilea șir infinit de numere întregi care începe cu 2, 6, 14, 34, 82 și 198.[2]
Laturile pătratelor utilizate pentru a construi o spirală de argint sunt numerele Pell | |
Numit după | John Pell |
---|---|
Autorul publicării | Leonhard Euler |
Nr. total de termeni | infinit |
Formula | |
Primii termeni | 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985 |
Index OEIS |
|
- A nu se confunda cu Număr Bell.
Numele acestor numere provine de la matematicianul englez John Pell, căruia Euler i-ar fi atribuit din greșeală studiul acestor numere în detrimentul altui matematician englez contemporan cu Pell, William Brouncker.
Numerele Pell sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Lucas, prin recurență, fiecare termen al seriei infinite fiind definit în funcție de cei doi termeni anteriori ai săi.[3]
Astfel, numerele Pell sunt numerele de forma:
În cuvinte, secvența numerelor Pell începe cu 0 și 1, iar apoi fiecare număr Pell următor este suma de dublul numărului Pell anterior și a numărului Pell dinaintea acestuia. Primii termeni ai secvenței sunt:
- 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,…
2 = 1 x 2 + 0
5 = 2 x 2 + 1
12 = 5 x 2 + 2
29 = 12 x 2 + 5 ș.a.m.d.
Pe lângă faptul că sunt utilizate pentru a aproxima rădăcina pătrată a lui 2, numerele Pell pot fi folosite pentru a găsi numere pătrate triunghiulare, pentru a construi aproximări întregi ale triunghiului dreptunghic isoscel și pentru a rezolva anumite probleme de combinatorică enumerativă.