Bisectoare

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

Proprietăți

• Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate obținută pe baza definiției bisectoarei;

Concurența bisectoarelor unui triunghi

• În orice triunghi bisectoarele sunt concurente (conform reciprocei teoremei lui Ceva) în centrul cercului înscris triunghiului.

Alte proprietăți

• În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;

• În orice romb, diagonalele sunt și bisectoare.

Lungimea bisectoarelor unui triunghi

În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

Lungimea ${\displaystyle b_{a}}$ a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c și cosinusul măsurii A/2 a acestui semiunghi e:^[1]

${\displaystyle b_{a}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

Egalitatea se poate obține dintr-o egalitate de arii a triunghiului ABC cu cele ale triunghiurilor determinate de bisectoarea unghiului A pe latura opusă.^[2]

Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea ${\displaystyle b_{a}}$ divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci^[3]

${\displaystyle b_{a}^{2}+mn=bc}$

unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.

Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}}$ sau ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {c}{b}}}$ se obține o egalitate de produse de lungimi ${\displaystyle AB*CD=AC*BD}$ sau ${\displaystyle mb=nc}$, care se substituie în expresia teoremei lui Stewart ${\displaystyle a(b_{a}^{2}+mn)=b^{2}m+c^{2}n.\,}$

Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=bmb+cnc=cn(b+c)}$

Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.

${\displaystyle b+c=b+{\frac {m}{n}}b=b{\frac {m+n}{n}}={\frac {b}{n}}a}$

După substituire ${\displaystyle cn(b+c)=cn{\frac {b}{n}}a=cba}$

Egalizarea cu partea stângă dă:

${\displaystyle a(b_{a}^{2}+mn)=cba}$

Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.

Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile ${\displaystyle b_{a},b_{b},}$ and ${\displaystyle b_{c}}$, atunci^[4]

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}b_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}b_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}b_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

Ecuații în geometria analitică

În plan

În geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:

${\displaystyle (d_{1})\;\;A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$

${\displaystyle (d_{2})\;\;A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.}$

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},}$

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.}$

În spațiu

Se consideră dreptele de ecuații:

${\displaystyle {\frac {x-a}{l_{1}}}={\frac {y-b}{m_{1}}}={\frac {z-c}{n_{1}}},}$

${\displaystyle {\frac {x-a}{l_{2}}}={\frac {y-b}{m_{2}}}={\frac {z-c}{n_{2}}}.}$

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

${\displaystyle x=a+\left({\frac {l_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {l_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,}$

${\displaystyle y=b+\left({\frac {m_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {m_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,}$

${\displaystyle z=c+\left({\frac {n_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {n_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,}$

unde:

${\displaystyle D_{1}={\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}},}$

${\displaystyle D_{2}={\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}.}$

În geometria triunghiului

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: ${\displaystyle A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})}$ și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

${\displaystyle {\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{3}&y_{3}&1\\x_{1}&y_{1}&1\end{vmatrix}}{b}}\pm {\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}{c}}=0,}$

unde semnele ${\displaystyle +}$ și ${\displaystyle -}$ se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.

Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.