Centrul cercului înscris într-un triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Centru cercului înscris într-un triunghi

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Exprimare vectorială printr-un vector poziție

Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

${\displaystyle {\overrightarrow {PI}}={\frac {1}{a+b+c}}\cdot (a\cdot {\overrightarrow {PA}}+b\cdot {\overrightarrow {PB}}+c\cdot {\overrightarrow {PC}}),}$

unde  ${\displaystyle a=BC,\;b=CA,\;c=AB}$  sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează  ${\displaystyle A',B',C'}$  picioarele bisectoarelor din vârfurile  ${\displaystyle A,B,C.}$  Conform teoremei bisectoarei:

${\displaystyle {\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}},\;{\frac {B'C}{B'A}}={\frac {a}{c}},\;{\frac {C'A}{C'B}}={\frac {b}{a}}.}$

Rezultă că punctul  ${\displaystyle A'}$  împarte segmentul  ${\displaystyle {\overline {BC}}}$  în raportul  ${\displaystyle -{\frac {c}{b}},}$  deci:

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {c}{b}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {AB}}-\left(-{\frac {c}{b}}\right){\overrightarrow {AC}}\right)}$ adică  ${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}={\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {AC}}.}$ 

Din  ${\displaystyle {\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}}}$  rezultă  ${\displaystyle {\frac {A'B}{A'B+A'C}}={\frac {c}{b+c}}.}$  Dar  ${\displaystyle A'B+A'C=a,}$  deci  ${\displaystyle A'B={\frac {ac}{b+c}},\;A'C={\frac {ab}{b+c}}.}$ 

 ${\displaystyle [BI}$  este bisectoare în triunghiul  ${\displaystyle ABA',}$  deci aplicând teorema bisectoarei:

${\displaystyle {\frac {IA}{IA'}}={\frac {BA}{BA'}}=c\cdot {\frac {b+c}{ac}}={\frac {b+c}{a}}.}$

Rezultă că punctul I împarte segmentul  ${\displaystyle {\overline {AA'}}}$  în raportul  ${\displaystyle -{\frac {b+c}{a}}}$  deci

${\displaystyle {\overrightarrow {PI}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {b+c}{a}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {PA}}-\left(-{\frac {b+c}{a}}\right)\cdot {\overrightarrow {PA'}}\right)}$

${\displaystyle (1)}$

Cum  ${\displaystyle {\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}},}$  rezultă că  ${\displaystyle A'}$  împarte segmentul  ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$  în raportul  ${\displaystyle -{\frac {c}{b}}}$  deci:

${\displaystyle {\overrightarrow {PA'}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {c}{b}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {PB}}-\left(-{\frac {c}{b}}\right)\cdot {\overrightarrow {PC}}\right)}$

adică:

${\displaystyle {\overrightarrow {PA'}}={\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {PB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {PC}}.}$

${\displaystyle (2)}$

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{a+b+c}},}$

unde  ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$, ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$  și  ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$  sunt coordonatele vârfului triunghiului.