Corp (matematică)

În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).

Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică.^[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Definiție

Se numește corp un triplet ${\displaystyle (K,+,*)}$ în care ${\displaystyle K}$ este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar ${\displaystyle +}$ și ${\displaystyle *}$ sunt două operații pe ${\displaystyle K}$ (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

1. ${\displaystyle (K,+)}$ este grup abelian cu elementul neutru notat cu ${\displaystyle 0}$.
2. ${\displaystyle (K\setminus \{0\},*)}$ este grup cu elementul neutru notat cu ${\displaystyle 1}$.
3. „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice ${\displaystyle x,y,z\in K}$:

${\displaystyle x*(y+z)=x*y+x*z}$

${\displaystyle (y+z)*x=y*x+z*x}$

Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul ${\displaystyle (K,+,*)}$ se numește corp comutativ.

Grupul ${\displaystyle (K,+)}$ se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul ${\displaystyle (K\setminus \{0\},*)}$ se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Exemple

Mulțimea ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (respectiv ${\displaystyle \mathbb {R} }$) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).

Inelul ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$.

Subcorp

Definiție

O submulțime ${\displaystyle F}$ a unui corp ${\displaystyle K}$ se numește subcorp al lui ${\displaystyle K}$, dacă operațiile algebrice definite pe ${\displaystyle K}$ induc pe ${\displaystyle F}$ operații algebrice, împreună cu care ${\displaystyle F}$ este corp.

Dacă ${\displaystyle F}$ este subcorp al lui ${\displaystyle K}$, atunci ${\displaystyle K}$ se numește extindere a lui ${\displaystyle F}$ și se notează ${\displaystyle F\subseteq K}$ sau ${\displaystyle K\supseteq F}$.

Caracterizare

O submulțime nevidă ${\displaystyle F}$ a unui corp ${\displaystyle K}$ este un subcorp a lui ${\displaystyle K}$ dacă și numai dacă:

1. ${\displaystyle x,y\in F\implies x+y\in F}$
2. ${\displaystyle x,y\in F\implies x*y\in F}$
3. ${\displaystyle x\in F,x\neq 0\implies x^{-1}\in F}$

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: ${\displaystyle \forall x\in F,\exists y\in F\setminus \{0\}:x*y^{-1}=1}$.

Exemple de subcorpuri

1. Fie ${\displaystyle K}$ un corp. Atunci ${\displaystyle K}$ este un subcorp al lui ${\displaystyle K}$.
2. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ este un subcorp al lui ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
3. Fie ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\;|\;\forall a,b\in \mathbb {Q} \}}$, înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ și ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R} }$.