Funcție

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare).

Pagina „F(x)” trimite aici. Pentru formația muzicală cu acest nume vedeți F(x) (formație).

Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ și codomeniul ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

Definiție formală

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian: G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
2. Pentru oricare două perechi (x₁ , y₁) și (x₁, y₂) din F, y₁ = y₂.

Funcțiile pot fi definite astfel:

• Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
• Printr-o expresie algebrică (sau mai multe expresii algebrice diferite pe porțiuni ale domeniului) : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției

Articol principal: Imaginea unei funcții

Imaginea unei funcții ${\displaystyle f:A\to B}$ este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile ${\displaystyle f(x),\forall x\in A}$. Se notează Im${\displaystyle f}$ sau ${\displaystyle f(A)}$.

Im${\displaystyle f={\big \{}f(x)|x\in A{\big \}}}$ sau

Im${\displaystyle f={\big \{}y\in B|\exists x\in A,f(x)=y{\big \}}}$

Graficul funcției

Articol principal: Graficul unei funcții

Graficul funcției ${\displaystyle f:A\to B}$ G_f=${\displaystyle {\big \{}(x,f(x))|x\in A{\big \}}}$

Proprietăți

Injectivitate

Injecție

Surjecție

Bijecție

Articol principal: Funcție injectivă

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

1. ${\displaystyle \forall x,y\in A,x\neq y}$ atunci f(x)≠f(y) sau
2. ${\displaystyle \forall x,y\in A,}$ dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,f(x)=x^{3}}$.

Deoarece pentru ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N} }$ x≠y avem x³ ≠ y³, înseamnă că funcția f este injectivă.

Surjectivitate

O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, ${\displaystyle \forall y\in B}$, atunci ${\displaystyle \exists x\in A}$ astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la O_x printr-un punct ${\displaystyle y\in B}$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$, f(x)=|x|, atunci ${\displaystyle \forall y\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y,-y\in \mathbb {Z} }$ astfel încât f(y)=f(-y).

Bijectivitate

O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă ${\displaystyle \forall y\in B}$, ${\displaystyle \exists x\in A}$ unic astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x printr-un punct ${\displaystyle y\in B}$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$, f(x)=x+3, atunci ${\displaystyle \forall y\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {Z} }$ astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții

O funcție ${\displaystyle f:A\to B}$ se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția ${\displaystyle g:B\to A}$ astfel încât ${\displaystyle f\circ g=g\circ f=\mathbf {1} _{A}}$. Atunci ${\displaystyle g:B\to A}$ se numește „inversa” funcției ${\displaystyle f}$ și se notează ${\displaystyle f^{-1}}$. Funcția ${\displaystyle f}$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

• Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
• Graficele funcțiilor numerice ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle f^{-1}}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația ${\displaystyle y=x}$.

Paritatea funcției

Funcția pară f(x)=x²

Funcția impară f(x)=x³

Funcții pare și impare

O funcție cu valori reale, ${\displaystyle f:A\to B}$ unde ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} }$, se numește „pară” dacă ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)=f(-x)}$. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție ${\displaystyle f:A\to B}$ cu valori reale se numește „impară” dacă

1. ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)=-f(-x)}$ sau
2. ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)+f(-x)=0}$.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți

• Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
• Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
• Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
• Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
• Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie

Articol principal: Funcție monotonă

Legături externe

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool Arhivat în 30 noiembrie 2010, la Wayback Machine..
• FunctionGame, an educational interactive function guessing games.