Intersecție (geometrie)

În geometria euclidiană o intersecție este un punct, o dreaptă sau o curbă comună a două sau mai multe obiecte (cum ar fi drepte, curbe, plane și suprafețe). Cel mai simplu caz din geometria euclidiană este intersecția a două drepte distincte, care fie este un punct, fie nu există (dacă dreptele sunt paralele). Alte tipuri de intersecții geometrice sunt:

• Intersecția unei drepte cu un plan
• Intersecția unei drepte cu o sferă
• Intersecția unei drepte cu un poliedru
• Intersecția a două segmente de dreaptă
• Intersecția a două curbe

Nu confundați cu Intersecție (teoria mulțimilor).

Punctul roșu este punctul în care se intersectează cele două drepte

Determinarea intersecției planelor – obiecte geometrice liniare încorporate într-un spațiu de dimensiune superioară – este o sarcină simplă pentru algebra liniară, și anume rezolvarea unui sistem de ecuații liniare. În general, determinarea unei intersecții conduce la un sistem de ecuații neliniare, care pot fi rezolvate numeric, de exemplu folosind metoda tangentei. Problemele de intersecție dintre o dreaptă și o conică (cerc, elipsă, parabolă etc.) sau o cuadrică (sferă, cilindru, hiperboloid etc.) conduc la ecuații de gradul al doilea, care pot fi rezolvate ușor. Intersecțiile dintre cuadrice conduc la ecuații de gradul al patrulea, care pot fi rezolvate algebric.

În plan

Articole principale: Plan (geometrie) și Spațiu bidimensional

Două drepte

Pentru determinarea punctului de intersecție a două drepte neparalele:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

coordonatele punctului de intersecție ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$ se obțin rezolvând sistemul prin regula lui Cramer^⁠(d) sau prin eliminare gaussiană^⁠(d):

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Dacă ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0,}$ dreptele sunt paralele și aceste metode nu pot fi folosite deoarece duc la o împărțire cu 0.)

Două segmente de dreaptă

Intersecția a două segmente de dreaptă

Pentru două segmente de dreaptă ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ și ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ nu este obligatoriu să existe un punct de intersecție (vezi imaginea), deoarece punctul de intersecție (x_0,y_0) al dreptelor corespunzătoare poate să nu fie conținut în segmentele de dreaptă. Pentru a verifica situația, se utilizează reprezentări parametrice ale dreptelor:

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1}))}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3}))}$

Segmentele de dreaptă se intersectează doar într-un punct comun ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ al dreptelor corespondente dacă parametrii corespunzători ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ îndeplinesc condiția ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1\,.}$ În acest caz, parametrii ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ sunt soluția sistemului liniar:

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1}}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\,.}$

Dacă condiția ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ este îndeplinită se substituie ${\displaystyle s_{0}}$ sau ${\displaystyle t_{0}}$ în reprezentarea parametrică corespunzătoare și se obține punctul de intersecție ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

Exemplu

Pentru segmentele ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$ și ${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$ se obține sistemul liniar:

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

și ${\displaystyle s_{0}={\frac {3}{11}},t_{0}={\frac {6}{11}}.}$ Asta înseamnă că dreptele se intersectează în punctul ${\displaystyle ({\frac {17}{11}},{\frac {14}{11}}).}$

Observație: Considerând în loc de segmente doar dreptele, determinate de perechi de puncte, condițiile ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ pot fi omise, iar metoda dă punctul de intersecție al dreptelor.

Dreaptă și cerc

Intersecție între o dreaptă și un cerc

Pentru intersecția unei drepte ${\displaystyle ax+by=c}$ cu cercul ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ se extrage x sau y din ecuația dreptei și se substituie în ecuația cercului. ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ se calculează folosind formula pentru ecuația de gradul al doilea:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle y_{1,2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}}$

Dacă ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\,,}$ atunci există două puncte de intersecție, dreapta se numește secantă a cercului, iar segmentul de dreaptă care leagă punctele de intersecție se numește coardă a cercului. Dacă ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0\,,}$ există un singur punct de intersecție, iar dreapta este tangentă la cerc. Dacă ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}<0\,,}$ dreapta nu intersectează cercul.

Intersecția unei drepte cu o parabolă sau cu o hiperbolă pate fi tratată analog.

Două cercuri

Articol principal: Lunulă

Determinarea punctelor de intersecție a două cercuri ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2}}$ și ${\displaystyle (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$ se poate reduce la cazul precedent al intersecției unei drepte cu un cerc. Prin scăderea dintr-una din cele două ecuații date a celeilalte se obține ecuația liniară:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$

Această dreaptă este axa radicală a celor două cercuri.

Intersecția a două cercuri cu centrele pe axa x, axa lor radicală este cea roșie

Caz particular: ${\displaystyle x_{1}=y_{1}=y_{2}=0\,.}$ În acest caz originea este centrul primului cerc, iar al doilea centru se află pe axa x. Ecuația dreptei radicale se simplifică astfel:

${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}$ iar punctele de intersecție pot fi scrise ca ${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$ cu

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}}$

În caz că ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$ cercurile n-au puncte comune.
In caz că ${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$ cercurile au un singur punct comun, iar axa radicală este tangenta comună.

Orice caz general poate fi transformat printr-o translație și o rotație în cazul particular de mai sus.

Intersecția a două discuri este o formă numită lunulă.

Două conice

Intersecții cerc–elipsă

Problema intersecției unei elipse/hiperbole/parabole cu o altă conică conduce la un sistem de ecuații de gradul a doilea^⁠(d), care poate fi rezolvat cu ușurință în cazuri particulare prin eliminarea unei coordonate. Proprietățile particulare ale secțiunilor conice pot fi utilizate pentru a obține o soluție. În general, punctele de intersecție pot fi determinate prin rezolvarea ecuației prin metoda tangentei. Dacă:

a) ambele conice sunt date implicit (printr-o ecuație), sunt necesare iterări bidimensionale;

b) una este dată implicit și cealaltă este dată parametric, sunt necesare iterări unidimensionale.

Două curbe netede

O intersecție transversală a două curbe

Intersecție tangentă (stânga), curbe tangente (dreapta)

Două curbe în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (spațiu bidimensional), care sunt continuu derivabile (adică nu există puncte de întoarcere), au un punct de intersecție, dacă au un punct comun al planului și în acest punct au:

a) tangente diferite (intersecție transversală), sau

b) tangenta comună (cu sau fără ca tangenta comună să intersecteze una sau ambele curbe).

Dacă ambele curbe au în comun un punct S și tangenta în acesta, dar care nu le intersectează, ele doar „se ating” în punctul S. Deoarece intersecțiile care doar se ating apar rar și sunt dificil de tratat, următoarele considerații omit acest caz. Determinarea punctelor de intersecție conduce întotdeauna la una sau două ecuații neliniare care pot fi rezolvate prin metoda tangentei.

Intersecția unei curbe parametrice și a unei curbe implicite

Intersecția a două curbe implicite

• Dacă ambele curbe se dau explicit: ${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x),}$ ecuația intersecțiilor este:

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)}$

• Dacă ambele curbe se dau parametric: ${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\quad C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)),}$

se obțin două ecuații cu două variabile:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\quad y_{1}(t)=y_{2}(s)}$

• Dacă una din curbe este dată parametric iar cealaltă implicit:

${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\quad C_{2}:f(x,y)=0}$

acesta este cel mai simplu caz, în afară de cazul explicit. Trebuie introdusă reprezentarea parametrică a ${\displaystyle C_{1}}$ în ecuația ${\displaystyle f(x,y)=0}$ a curbei ${\displaystyle C_{2}}$ și se obține ecuația:

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0}$

• Dacă ambele curbe se dau implicit:

${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\quad C_{2}:f_{2}(x,y)=0}$

punctul de intersecție este soluția sistemului:

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\quad f_{2}(x,y)=0}$

Orice iterare prin metoda tangentei are nevoie de valori inițiale convenabile, care pot fi obținute prin vizualizarea ambelor curbe. O curbă dată parametric sau explicit poate fi ușor vizualizată, deoarece pentru orice parametru t respectiv x este ușor să se calculeze punctul corespunzător. Pentru curbele date implicit, această sarcină nu este la fel de ușoară. În acest caz, trebuie să se determine un punct al curbei cu ajutorul valorilor inițiale și al unei iterări.^[1]

Exemple

(v. imaginile de mai sus)

1:   ${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$ și cercul ${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0\,.}$

Se fac iterațiile prin metoda tangentei ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$ pentru funcția

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10\,.}$ Ca valori inițiale se pot lua −1 și 1,5.

Punctele de intersecție sunt: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046)

2:   ${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0,5)^{2}+(y-0,5)^{2}-1=0}$

Se fac iterațiile prin metoda tangentei:

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}},}$ unde ${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$ este soluția sistemului liniar:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$ în punctul ${\displaystyle (x_{n},y_{n}).}$ Ca valori inițiale se pot lua (−0,5, 1) și (1, −0,5).

Punctele de intersecție sunt (−0,3686, 0,9953) și (0,9953, −0,3686).

Două poligoane

Testul cu ferestre al intersecției a două poligoane. Liniile albastre și verzi nu sunt curbe, fiecare subpoligon (poate fi și o singură latură) al fiecărui poligon este diagonala unui dreptunghi.

Dacă se dorește determinarea punctelor de intersecție a două poligoane, se poate verifica intersecția oricărei perechi de laturi ale poligoanelor. Pentru poligoanele cu multe laturi această metodă consumă destul de mult timp. În practică, se accelerează algoritmul folosind „teste cu fereastre”. În acest caz, se împart poligoanele în subpoligoane mici și se determină cea mai mică fereastră (dreptunghi cu laturi paralele cu axele de coordonate) pentru orice subpoligon. Înainte de a începe determinarea consumatoare de timp a punctului de intersecție a două segmente de dreaptă, orice pereche de ferestre este testată pentru existența punctelor comune.^[2]

În spațiul tridimensional

Articol principal: Spațiu tridimensional

Într-un spațiu tridimensional există puncte de intersecție (puncte comune) între curbe și suprafețe. În continuare se tratează doar intersecțiile cu traversare.

O dreaptă cu un plan

Articol principal: Intersecția unei drepte cu un plan

Intersecția unei drepte cu un plan

Intersecția unei drepte cu un plan aflat în spațiul tridimensional în poziția generală este un punct.

De obicei o dreaptă în spațiu este reprezentată parametric ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$, iar un plan printr-o ecuație ${\displaystyle ax+by+cz=d.}$ Introducerea reprezentării parametrilor în ecuație produce ecuația liniară:

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d}$

pentru parametrul ${\displaystyle t_{0}}$ al punctului de intersecție ${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0})).}$

Dacă această ecuație nu are soluție, dreapta se află fie în plan, fie este paralelă cu planul.

Trei plane

Dacă dreapta de intersecția a două plane, ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2\,,}$ trebuie să se intersecteze cu al treilea plan, ${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3},}$ punctul de intersecție poate fi calculat.

Trei plane, ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3\,,}$ cu versorii normali independenți ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$ au punctul de intersecție:

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}}$

Trebuie calculate ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3.}$ Dacă este nul, atunci intersecția nu este un punct, ci o dreaptă (dacă două plane coincid), sau un plan (dacă coincid toate trei).

O curbă cu o suprafață

Intersecția curbei ${\displaystyle (t,t^{2},t^{3})}$ cu suprafața ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

Analog cazului plan, următoarele cazuri duc la sisteme neliniare, care pot fi rezolvate folosind o metoda tangentei unidimensională sau tridimensională.^[3]

• curba parametrică ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$ și

suprafața parametrică ${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• curba parametrică ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$ și

suprafața implicită ${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

Exemplu

(v. imaginea)

curba parametrică ${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$ și

suprafața implicită ${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Punctele de intersecție sunt: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Intersecția sintre o dreaptă șio sferă este un caz particular simplu.

La fel ca în cazul unei drepte și al unui plan, intersecția dintre o curbă și o suprafață în poziția generală constă din puncte discrete, dar o curbă poate fi parțial sau total conținută într-o suprafață.

O dreptă cu un poliedru

Articol principal: Intersecția unei drepte cu un poliedru

Două suprafețe

Articol principal: Curbă de intersecție

Intersecția a două suprafețe care se intersectează este o curbă de intersecție. Cel mai simplu caz este dreapta de intersecție a două plane neparalele.

O sferă cu un plan

Când intersecția dintre o sferă și un plan există, ea este un cerc (eventual un punct).

Fie S o sferă cu centrul O și P un plan care intersectează S. Fie OE perpendicular pe P și care întâlnește P în E. Fie A și B oricare două puncte diferite din intersecție. Atunci AOE și BOE sunt triunghiuri dreptunghice cu o latură comună, OE, și ipotenuzele AO și BO egale. Prin urmare, laturile rămase AE și BE sunt egale. Aceasta arată că toate punctele din intersecție sunt la aceeași distanță de punctul E din planul P, cu alte cuvinte, toate punctele din intersecție se află pe un cerc C cu centrul în E.^[4] Aceasta demonstrează că intersecția dintre P și S este conținută în C. De reținut că OE este axa cercului.

Acum, fie punctul D al cercului C. Deoarece C se află în P, la fel se află și D. Pe de altă parte, triunghiurile AOE și DOE sunt triunghiuri dreptunghice cu o latură comună, OE, și catetele EA și ED egale. Prin urmare, ipotenuzele AO și DO sunt egale și egale cu raza cercului S, astfel încât D se află pe S. Aceasta demonstrează că C este conținut în intersecția dintre P și S.

Corolar, pe o sferă există exact un cerc care poate fi trasat prin trei puncte date.^[5]

Demonstrația poate fi extinsă pentru a arăta că punctele unui cerc se află toate la aceeași distanță unghiulară față de unul dintre polii săi.^[6]

Două sfere

Pentru a demonstra că o intersecție netrivială a două sfere este un cerc, se presupune (fără a pierde generalitatea^⁠(d)) că o sferă (cu raza R) are centrul în origine. Punctele de pe această sferă satisfac ecuația:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

De asemenea, fără a pierde generalitatea, se presupune că a doua sferă, cu raza r, are centrul într-un punct de pe axa x pozitivă, la distanța a față de origine. Punctele sale satisfac ecuația:

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$

Intersecția sferelor este mulțimea punctelor care satisfac ambele ecuații. Scăzând una dintre ecuații din cealaltă rezultă:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

În cazul particular ${\displaystyle a=0,}$ sferele sunt concentrice. Există două posibilități: dacă ${\displaystyle R=r,}$ sferele coincid, iar intersecția este întreaga sferă. Dacă ${\displaystyle R\not =r,}$ sferele sunt disjuncte, iar intersecția este vidă.

Când a este diferit de zero, intersecția se află într-un plan vertical cu acea coordonată x, care poate intersecta ambele sfere, poate fi tangentă la ambele sfere sau exterioară ambelor sfere.

Rezultatul rezultă din demonstrația anterioară pentru intersecțiile dintre o sferă și un plan.