Număr harshad

În matematică, un număr harshad (sau un număr Niven) într-o bază dată este un număr întreg care este divizibil cu suma cifrelor sale în baza respectivă. Numerele harshad din baza ${\displaystyle n}$ sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de ${\displaystyle n}$-harshad (sau ${\displaystyle n}$-Niven). Numerele harshad au fost definite de D. R. Kaprekar, un matematician din India. Cuvântul „harshad” provine din sanscrită, harṣa (bucurie) + da (dă), adică dătător de bucurie. Termenul de „număr Niven” a apărut dintr-o lucrare prezentată de Ivan M. Niven la o conferință despre teoria numerelor din 1977.^[1][2]

Număr harshad

Numit după	cuvântul „harshad” Ivan M. Niven
Autorul publicării	D. R. Kaprekar
Formula	${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$
Primii termeni	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100
Index OEIS	A005349 Niven (or harshad) numbers

Definiție

Fie X un număr întreg pozitiv cu m cifre scris în baza n, cu cifrele ${\displaystyle a_{i}}$ (${\displaystyle i=0,1,\cdots ,m-1}$).. (Rezultă că ${\displaystyle a_{i}}$ trebuie să fie zero sau un număr întreg pozitiv mai mic decât ${\displaystyle n-1}$.)

X poate fi exprimat ca:

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

X este un număr harshad în baza n dacă:

${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$

Un număr care este un număr harshad în toate bazele de numerație se numește un număr all-harshad sau un număr all-Niven. Există doar patru numere all-harshad: 1, 2, 4 și 6 (numărul 12 este un număr harshad în toate bazele, cu excepția bazei 8).

Exemple

• Numărul 18 este număr harshad în baza 10, deoarece suma cifrelor 1 și 8 este 9 (1 + 8 = 9), și 18 este divizibil cu 9.
• Numărul Hardy–Ramanujan (1729) este număr harshad în baza 10, întrucât este divizibil cu 19, adică cu suma cifrelor sale (1729 = 19 × 91).
• Numărul 19 nu este număr harshad în baza 10, deoarece suma cifrelor 1 și 9 este 10 (1 + 9 = 10), iar 19 nu este divizibil cu 10.
• Primele numere în baza 10 sunt:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... ^[3]